感应电动机的数学模型是一个也是一个多变量，强耦合，非线性的系统，我们在分析感应电动机时，可以拿出其中一相来分析，而其他的只是相差120°的旋转分布在定子侧和转子侧。拿出一相来分析，可以简化公式，便于理解。电动机的定子在通上正弦交流电时，会产生磁场，这个磁场从定子绕组轴线出发，经过定子铁心，气隙，转子铁心，气隙，定子铁心回到定子绕组轴线。这里出现了两个概念：主磁通和漏磁通。主磁通就穿过气隙后，经过转子铁心后又通过气隙回来的磁通，而漏磁通就是没有经过气隙的磁通。因为定子铁心和转子铁心的磁导率很高，所以磁通的主要障碍在于气隙部分。当磁通通过气隙时，磁通大小会明显减小。定子轴发出的磁场形状如图1.1所示。

http://s11/bmiddle/932ba3b9tx6CrHqYKXo3a&690

图1.1 定子轴线磁场示意图

  在定子侧，磁势的大小等于定子电流和绕组匝数的乘积，而磁通又正比于磁势，磁通与匝数的乘积称为磁链，磁链的微分为感应电动势，所以电流，磁势，磁通，磁链，电动势的大体关系就是：正电压产生正电流，正电流产生正磁势，正磁势产生正磁通，正磁通产生正磁链，而正磁链产生负电压。当同于正弦电流是，产生的磁通也是正弦分布的。基波磁势幅值为

                                                       F₁= 4iWk_W1/(2πp_P)                                                                        (1.1)

   上式可以看出，基波磁势和绕组电流i、串联砸出W、基波绕组系数kW1和傅里叶分解基波系数成比例。而磁通和磁势成正比：

                                                                Φ = λF                                                                                  (1.2)

有电磁感应定律可以知道，磁链产生的感应电动势方向总是组织磁链增大的方向，所以磁链产生的感应电动势为

                                                         e = -dψ/dt = -pψ                                                                           (1.3)

式中：p为微分算子。

一相绕组的定子电压为：

                                                            u = R_Si + pψ                                                                                                       (1.4)

上面是电动机的一相磁势，定子电压，磁通的分析，而感应电机一般是三相，所以可以对称的出现另外两个相。从定子电压开始分析。由公式(1.4)可知，定子电压和定子绕组的阻值，定子电流还有磁链大小有关。

1.定转子静止三相坐标系统中电压和磁链方程

根据公式(1.4),定子电压可以表示成

u_A= R_Si_A + pψ_A                                                                                                 (1.5)

u_B= R_Si_B + pψ_B                                                                                                  (1.6)

u_C= R_Si_C + pψ_C                                                                                                  (1.7)

上面公式写成矩阵的形式为：

http://s15/mw690/932ba3b9tx6CrHx3IjYde&690

类似的，转子电压方程可以表示成

u_a= R_Ri_a + pψ_a                                                                                           (1.9)

u_b= R_Ri_b + pψ_b                                                                                          (1.10)

u_c= R_Ri_c + pψ_c                                                                                          (1.11)

 

写成矩阵的形式为：

http://s8/mw690/932ba3b9tx6CrHNxYOPa7&690

定转子磁链是自感和互感共同作用的结果，这个互感，不单单是定子侧和转子侧各自相邻两相绕组的互感，也包括定转子之间的互感。

定子侧的定子磁链矩阵方程为：

http://s9/mw690/932ba3b9tx6CrHOZ7nO78&690

转子侧的转子磁链方程为：

http://s3/mw690/932ba3b9tx6CrHQ52wO72&690

上面的磁链方程中，L_SS是定子侧所有感抗，L_RR是转子侧所有感抗，L_SR是转子侧对定子侧感抗的影响，而L_RS是定子侧对转子侧感抗的影响。其中

 

L_SS的表达式为：http://s8/mw690/932ba3b9tx6CrHR9ZPhc7&690

L_RR的表达式为：

http://s2/mw690/932ba3b9tx6CrHSAslX61&690

上面两个表达式中，M_S是定子侧相邻两相绕组之间的互感，L_S是定自侧绕组自身感抗，M_R是转子侧相邻两相绕组之间的互感，L_R是转子侧绕组自感。以上感抗和转子位置无关，都是常数。

 

L_SR和L_RS是互为转置的两个矩阵，表示定子侧和转子侧之间的互感，这个互感和转子位置相关，可以表示为：http://s1/mw690/932ba3b9tx6CrHTMojm60&690

上式中，可以看出，定转子之间的互感与转子的位置有密切关系。M_SR表示定子一相与转子一相轴线重合时的互感或互感最大值。L_RS^T表示互感矩阵L_SR的转置矩阵，根据三相对称性两个互感矩阵具有如下一般关系：

                                                     L_SR(θ_RS) = L_RS(-θ_RS)                                                                    (1.18)

因为互感是转子和定子之间的夹角θ_RS的函数，所以感应电动机中定转子磁链和电流的关系是随着转子转动而变化的，即时变的，而且存在电磁耦合，也就是磁链方程是耦合方程。为此，必须进行坐标变换，将耦合方程变成非耦合方程，即解耦控制。

2.定转子静止两相坐标系统中电压和磁链方程

       根据静止三相到静止两相的坐标变换过程，将定转子电压方程以及磁链方程表示成：

       定子电压方程：

u_vSαβ = R_Si_vSαβ + pψ_vSαβ                                                                                 (1.19)

u_S0 = R_Si_S0 + pψ_S0                                                                                                (1.20)

转子电压方程：

u_vRαβ = R_Ri_vRαβ + pψ_vRαβ                                                                               (1.19)

u_R0 = R_Si_R0 + pψ_R0                                                                                              (1.20)

 

写成矩阵的形式为：

http://s9/mw690/932ba3b9tx6CrHVm6ww38&690

定子磁链方程为：http://s1/mw690/932ba3b9tx6CrHXRBYsa0&690

转子磁链方程：http://s4/mw690/932ba3b9tx6CrHZdlWH53&690

其中，电感矩阵经过变换之后简化为：

http://s5/mw690/932ba3b9tx6CrI0N4Us74&690

由此得到磁链的矢量方程式

ψ_vSαβ= L_si_vSαβ + L_m(e^jθrsi_vRαβ)                                                                (1.28)

ψ_S0= L_s0i_S0                                                                                                                                              (1.29)

ψ_vRαβ= L_ri_vRαβ + L_m(e^-jθrsi_vSαβ)                                                                (1.30)

ψ_R0=L_r0i_R0                                                                                                                                               (1.31)

其中：L_s = L_S - M_S 是定子等效两相绕组的自感；

L_s0 = L_S + 2M_S 是定子零轴等效绕组电感；

L_r = L_R - M_R 是转子等效两相绕组的自感；

L_r0 = L_R + 2M_S 是转子零轴等效绕组电感；

L_m = 3M_SR/2 为定转子等效两相绕组之间互感最大。

上面公式中下标“v”表示矢量。

从公式(1.25)、(1.26)可以看出，经过静止三相坐标到静止两相坐标的变换，定转子的自感矩阵有原来的循环对称矩阵变为现在的对角矩阵，因此静止三相到两相的变换也成为主对角变换。但是由式(1.28)和(1.30)可以看出，定转子的互感还是跟定转子之间的夹角有关，所以这一点上还没有实现解耦控制。

3.正交两相公共坐标系统定转子电压和磁链方程

根据静止两相到正交两相公共坐标的转换过程，得到了正交两相公共坐标中定转子电压和磁链方程

u_vSPQ = R_Si_vSPQ + pψ_vSPQ + jω_PSψ_vSPQ                                                                    (1.32)

u_S0 = R_Si_S0 + pψ_S0                                                                                   (1.33)

u_vRPQ = R_Ri_vRPQ + pψ_vRPQ + jω_PRψ_vRPQ                                                                 (1.34)

u_R0 = R_Ri_R0 + pψ_R0                                                                                   (1.35)

其中：ω_PS = pθ_PS表示公共坐标系统相对于定子的角速度；ω_PR = pθ_PR表示公共坐标系统相对于转子的角速度。当公共坐标系统和转子角速度重合时，ω_PR称为转差角速度。

       定子电压方程中，除了原来存在的定子电阻压降R_Si_vSPQ和磁链微分环节(变压器电势)之外，增加了与角速度有关的旋转电动势jω_PSψ_vSPQ项。转子项也是类似。经过静止坐标到正交两相公共坐标的转换后，定转子之间的角位置耦合关系得到了解除，所以这种矢量旋转变换又叫角位置解耦变换。定转子之间的角速度ω_RS，定子与公共坐标之间角速度ω_PS，转子与公共坐标之间角速度ω_PR的关系为

ω_PS =ω_PR +ω_RS                                                                                            (1.36)

在正交两相公共坐标系统中，定转子磁链方程可以表示为：

ψ_vSPQ = L_si_vSPQ + L_mi_vRPQ                                                                        (1.37)

ψ_vRPQ = L_mi_vSPQ + L_ri_vRPQ                                                                                                 (1.38)

       正交两相公共坐标系统将定转子在不同坐标系统中的观测结果统一到同一个坐标下观测，对于电动机的分析起了很重要的作用。

       如果正交两相公共坐标相对于定子转速为0，公共坐标的P轴和定子重合，那么公共坐标系统就变成定子静止坐标系统，转子上观测的变量都要变换到定子静止两相坐标系统。

       如果正交两相公共坐标相对于定子的转岁为气隙磁场转速，也就是公共坐标相对于气隙磁场转速为0，那么公共坐标和气隙磁场重合，公共坐标变成磁场定向坐标系统，定转子的观测变量都要变换到磁场静止两相坐标系统。

       如果正交两相公共坐标相对于定子的转速为转子转速，也就是公共坐标相对于转子坐标静止，那么公共坐标就变成转子静止两相坐标，定子上观测的变量都要变换到转子静止两相坐标系统。

       经过上面公式可以推导出电动机电磁转矩的方程

                                        T_em = p_P(i_S^T∂L_SR/∂θ_RSi_R + i_R^T∂L_RS/∂θ_RSi_S)                                          (1.39)

其中：p_P表示电动机极对数，感应电动机定子三相绕组的电流矩阵i_S = [i_A  i_B  i_C]^T,转子三相绕组电流矩阵i_R = [i_a  i_b  i_c]^T。从上面的电磁转矩表达式中可以看出，只有定转子之间的电感随着转子位置的变化而变换，这样才能产生转矩。在公共坐标系统中，电磁转矩可以表示成如下形式：

                                                  T_em = 3p_P(ψ_SPi_SQ +ψ_SQi_SP)/2                                                         (1.40)

感应电机转子转矩平衡方程式：

                                                 T_em – T_L = Jpω_RS/p_P + Dω_RS                                                                                 (1.41)

其中：T_em为电磁转矩，T_L表示负载转矩，J表示电动机的转动惯量，D是电机转轴相关阻尼系数。

4.感应电动机的等效电路

 

       以前看书，总觉得感应电动机的等效电路很奇怪，总是看不明白，经过上面的一番推理，才真正明白。在感应电动势中，有两种感应电动势，一种是变压器感应电动势，即pψ_vSPQ­，也称为磁链微分环节，一种是旋转电势，即jω_PSψ_vSPQ，电磁转矩的产生，是旋转电势产生电磁转矩，而变压器电势不产生电磁转矩。这样一来，我们可以看到，定子侧旋转电势是定子磁场电角度ω_1­和定子磁链ψ_vSPQ的函数，而转子侧旋转电动势是转子相对于转差角速度ω_s和转子磁链ψ_vRPQ的函数，等效电路如图1.2所示。

图1.2 感应应电动机等效电路

 图中：Ls为定子侧组自感，Lm为定转子之间互感，Lr为折算到定子侧的转子自感，Rs为定子侧每相绕组电阻，Rr为折算到定子侧的转子侧每相绕组电阻，定转子的旋转电动势相当于受控电压源。