篇外: 前几天偷工减料随便做了个小计算，老大 ‘在路上的人’很不满意，很生气，后果极其严重。 没有办法只能把压箱底的本家手艺亮出来。 其实答应好友‘天天笑’做这个计算模拟已经很久了，一直苦于没有找到合适的实验参数作为计算输入。 经过长期的收集，数据勉强够用。另外，这段时间网上讨论‘延迟释放’很热闹，希望我这个计算结果可以给大家提供一些定量的参考。

双摆模型已经存在很久了， 理论文献不少， 数值模拟不多，考虑杆身弹性的就更少了。

下面是我计算模型的一些假设和材料常数，不感兴趣的朋友们可以跳过这一段直接看结果：

双摆顾名思义就是一个杆身，一个虚拟手臂。 

杆身我考虑弹性，由于材料常数奇缺，我就估计了一些，以后有厂家的数据可以改进。

虚拟手臂和杆头都假设为刚体。

计算从上杆顶部到击球，耗时0.28秒。 上杆顶部位置假设这个时刻手臂旋转了140度，也就是手臂和地面垂直线夹角40度。计算考虑了重力加速度。初始手腕hinge角度90度。计算过程中，这个角度可以随惯性自由变化，我没有加载任何额外限制，唯一的限制是这个角度不能小于90度，只能变大。

	Mass (kg)	Length (m)	E (GPa)	Poisson's ratio
Virtual Arm	7	0.7	Rigid body
Shaft	0.08	1.12	45	0.31
Clubhead	0.2		Rigid body
Top of backswing Arm rotation	140°
Wrist Cock angle	90°
Gravity	9.8 m/s2
Downswing time	0.28s

加载条件可以有很多种，也是计算最难的一点。 我计算的加载条件采用了文献中实验测得职业球员的手臂旋转速度历程， 如下图

Ref 1: P. J. Cheetham, et al."Comparison of kinematic sequence parameters between amateur and professional golfers," Science and golf V, Proc. World Scientific Congress of Golf.

图1

计算结果：（注：下面所有提到的速度都是以地面为参照系的，计算是在正交坐标系下计算，没有选用旋转坐标系）

动画演示挥杆过程，标尺显示的是绝对速度.

计算得到杆头速度 50m/s = 111 mph， 这个数值同文献Ref.1 中实验测定的 109 mph 非常接近。

下图是计算得出杆头绝对速度和手腕角度释放的过程。我自己定义了杆头击球前65ms作为释放阶段，图中可以看出在65ms之前， cock angle 已经开始发生变化。在这里大家会有遗憾，图中绝对杆头绝对速度似乎一直在增长，并没有在所谓的释放阶段有剧烈变化， 为什么呢？大家请看下面第二张图，速度分量的历史。

图2 

下图分别绘出了x， y方向的速度分量。 x是与地面平行方向，y是与地面垂直方向。有一点可以肯定的是，x方向速度分量是最终杆头绝对速度的最大贡献者。 在我定义的这个释放阶段65ms之内， x 和y方向的速度分量发生了剧烈变化； 可以看出随着手腕角度的‘释放’，杆头的速度绝对值在增加，而且其方向变化很剧烈。在这张图中就能看出释放的含义了。

图3

下面我们来比较一下杆头和手各自的速度变化趋势。 手的速度取自模型中两个摆交接处的速度。和大家平时的理解一样， 在释放阶段，杆头继续加速，手渐渐减速。

图4

接下来我们讨论一个比较容易混淆的概念， 杆头的加速度.在图5中，我把计算得到的杆头速度以及加速度画在同一张图中比较。加速度单位取重力加速度 g。 

从速度曲线可以看出，在释放阶段，曲线的斜率慢慢变小；如果按照一维运动的观念思考，就容易得出一个错误的结论： 加速度值在减小。 事实上，空间里的速度向量即有方向又有大小，图5中的速度曲线是速度向量大小的变化曲线，没有对速度的方向进行任何描述。 通俗的讲： 加速度是来自于速度的大小和方向的改变。这就解释了为什么图中的加速度曲线 不等同于速度曲线的斜率。这里描述的加速度是总的加速度，并不是任何一个加速度分量，释放阶段可以描述成切向加速度分量贡献减小，法向加速度分量贡献增加。

图5

下面继续讨论加速度的问题，玩过Flightscope 的朋友知道，这个设备能测量杆头速度和加速度。下图6是来自于Flightscope 的测量数据，很有迷惑性。 我不知道他们是怎么测量的，或者说加速度是怎么算出来的，是在哪个参照系下的加速度？ 

左侧的速度曲线在碰撞之前那一段同我的计算结果是比较相似的。 但是右侧的加速度曲线，看着怎么像是纯粹计算速度曲线的斜率？ 或者说是杆头运动轨迹切线方向上的加速度分量的大小? 很让人迷惑不解， 希望哪位高手来帮我解释一下。

图6

下图是来自一片比较可靠的参考文献，他们用的模型与我的不同，更加复杂考虑的因素更多；但是计算结果差不多， 在击球时刻(图中的t=0)之前加速度是增加的。

Ref. S. M. Nesbit, Journal of Sports Science and Medicine (2005) 4, 499-519.