一、质数和合数

　（1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

　　   一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

　（2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。

　　   任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

　　   要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。

　（3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；最小的合数是4。

　（4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数 。

       互质数是指两个数，是公约数只有1的两个数，

组成互质数的两个数：可能是两个质数（3和5），可能是一个质数和一个合数（3和4），可能是两个合数（4和9）或1与另一个自然数。

　（5）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

　（6）100以内的质数有25个：

2   3   5   7  11  13  17  19  23  29  31  37  41  43  47  53  59  61  67  71   73  79  83  89  97

　　注意：两个质数中差为1的只有3-2 ；除2外，任何两个质数的差都是偶数。

　

二、整除性

　（1）概念

一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整数b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除

（或者说b能整除a），记作b｜a 。否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）。

　　如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

　（2）性质

性质1：（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

　　   即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

　　   例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

　　   也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.

　　   即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：（整除的互质可积性）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

　　    即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1， 那么bc｜a。

　　    例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。

　　     注意：（b，c）=1这个条件，如果没这个条件，结论就不一定能成立。

　　     譬如：4｜28，14｜28，4×14=56不能整除28。

　性质4：（整除的传递性）如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

　　即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

　　例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

　　 （3）数的整除特征

　　①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.

　　②能被5整除的数的特征：个位是0或5。做题时常常把这里当作突破口。

　　③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

　　判断能被3（或9）整除的数还可以用“弃3（或9）法”：

　　例如：8351746能被9整除么？

解：8＋1＝9，3＋6＝9，5＋4＝9，

在数字中只剩7，7不是9的倍数，所以8351746不能被9整除。

　　④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

　　⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

　　⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

　　⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除，依此反复检验。

　　例如：判断3546725能否被13整除？

　　解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.

　　上述办法也可以用来判断余数和末位数；

　　对于其他的数，可以将其分解成上述几个互质的数的乘积，再逐个考虑。

　　

三、约数与倍数

（1）公约数和最大公约数

　　几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

　　例如：4是12和16的最大公约数，可记做：（12, 16）＝4

　

（2）公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

　　例如：36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

　（3）最大公约数和最小公倍数的关系

　　如果用a和b表示两个自然数,那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：

　1 （a，b）×[a，b]=a×b。　　（多用于求最小公倍数）

　2 （a，b）≤ a　， b ≤ [a，b]

　3 [a，b]是（a，b）的倍数，（a，b）是[a，b]的约数

　4 、（a，b）是a＋b和a－b的约数，也是（a，b）＋[a，b]和[a，b]－（a，b） 的约数

　（4）求最大公约数的方法很多，主要推荐：短除法、分解质因数法、辗转相除法。

1 （短除法）用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？

　　解：∵ （30，60，75）=5×3=15

　　    这个数最大是15。

　　2 （分解质因数法）求1001和308的最大公约数是多少？

　　解：1001＝7×11×13　 308＝7×11×4  （这个质分解常用到），

　　    所以最大公约数是7×11＝77

　　 在这种方法中，先将数进行质分解，而后取它们“所有共有的质因数之积”便是最大公约数。

　　3 （辗转相除法）用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。

　　解：∵4811=2×1981+849，

　　1981=2×849+283，

　　849=3×283，

　　∴（4811，1981）=283。

　　补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的最大公约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果。

　　（5）约数个数公式

　　一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。

　　例如：求240的约数的个数。

解：∵240＝24×31×51＝2×2×2×3×31×51，

　　∴240的约数的个数是（3＋1）×（1+1）×（1+1）×（1＋1）=32

　　    ∴240有32个约数。

 

四、奇偶性

　 （1）奇数和偶数

　　整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

　　偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

　　特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

　　最小的奇数是１，最小的偶数是0

　 （2）奇数与偶数的运算性质

性质1：　

偶数±偶数=偶数     奇数±奇数=偶数

　　    偶数±奇数=奇数     奇数±偶数=奇数

　　    归纳：同性质（指奇偶性）两数加减得偶，不同性质得奇。

　　性质2：

　　    偶数×奇数=偶数（推广开就是：偶数个奇数相加得偶数）

　　    偶数×偶数=偶数（推广开就是：偶数个偶数相加得偶数）

　　    奇数×奇数=奇数（推广开就是：奇数个奇数相加得奇数）

　　    归纳：对于乘法，见偶就得偶。

（3）反证法

　　例：桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

　　解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。