解题思路--有余数除法（小学不定方程）

 二年级数学有一题：

P69面题10，将22只鸡放入大小两个鸡笼里。一个大笼最多可放6只鸡，一个小笼最多可放4只鸡。

1）如果都放进大鸡笼，至少要几个大鸡笼？

2）如果都放进小鸡笼，至少要几个小鸡笼？

3）大鸡笼和小鸡笼搭配，怎样能正好装下22只鸡？

分析：前两问为一般有余数除法问题。而第三问出现在二年级，显然是想通过前两问的解答，观察出放进大鸡笼后余数，正好可以放一个小鸡笼，从而得出搭配的方式。

  这是特例的题，如果仅此解答，对学有余力的学生就没有什么帮助，还容易造成错觉，用特例代替一般，在遇到不是特例是就束手无策。

  下面提出几种思路，希望能用有余数的除法理解和解答有关简单的不定方程问题。

 原题一般解答：

1） 如果都放进大鸡笼，至少要几个大鸡笼？

     解：22÷6=3…4，有余数需进1，则至少需要3+1=4（个）大鸡笼。

2） 如果都放进小鸡笼，至少要几个小鸡笼？

   解：22÷4=5…2。有余数需进1，则至少需要5+1=6（个）小鸡笼。

3）大鸡笼和小鸡笼搭配，怎样能正好装下22只鸡？

     解：假设都放入大鸡笼，则：

          22÷6=3…4，放入3个大鸡笼后还剩4只鸡，而4只鸡正好放进1个小鸡笼。于是搭配为3个大鸡笼和1个小鸡笼正好装下22只鸡。

3） 一般题的解答思路：

一，减商加余：

1）假设都用大鸡笼，则22÷6=3…4，因余数为4，是4的倍数，不用减商。于是：6×3+4×1=22，则解1为3个大鸡笼，1个小鸡笼。

2）假设都用小鸡笼，则22÷4=5…2，余数2不是6的倍数，需减商，当商减少1，则余数就增加4，而4+2=6是6的倍数，

于是4×（5-1）+（4+2）×1=22，则解2为4个小鸡笼，1个大鸡笼。

注：也可直接用除法竖式，余2不行改商4，这时余6，6÷6=1，于是解为4个小鸡笼和1个大鸡笼。由于余数6大于除数4，所以不建议一般的学生应用。

二，去余：因用大鸡笼余数放于小鸡笼，则可先减去小鸡笼的倍数，差是大鸡笼的倍数就可得出解。注意结果是去小得大。

1）减小。22-4×1=18，18=6×3，于是需要1个小鸡笼和3个大鸡笼。

2）减大，22-6×1=16，16=4×4，于是需要1个大鸡笼和4个小鸡笼。

三，去和，也可去掉每个大小鸡放入鸡的和，看剩下的是谁的倍数,

22-(4+6)×1=12,12=4×3或12=6×2，于是得到配搭：

  解1，大笼1个，小笼1+3=4个

  解2，小笼1个，大龙1+2=3个

注：这方法比较局限，有时不能得到全部的解，但比较快和容易.

    四，换：得出3个大鸡笼，1个小鸡笼后。因为6×2=4×3，也就是2个大鸡笼可换成3个小鸡笼。于是4-2=1，1+3=4，得出1个大鸡笼和4个小鸡笼。同样，如果知道要4个小鸡笼和1个大鸡笼，也可换成3个大鸡笼和1个小鸡笼。

巩固题：

题1，26个小朋友去公园划船，大船可坐6个人，小船可坐4个人，需要大小船各多少，正好可以坐完？

 解：减商，1）26÷6=4…2，2不是4的倍数，换1为6，（6+2 ）÷4=2，于是

             6×（4-1）+（4×2）=26  于是解1为3个大船 ，2个小船。

           2）26÷4=6…2，2不是6的倍数，换1为4，2+4=6，则

4×（6-1）+6×1=26，于是解2为5个小船，1个大船。

     减余，3）减大，26-6=4×5，4×5+6×1-26，于是解为5个小船和1个大船。

4）减小。26-4×1不行，则26-4×2=18=6×3，则

    4×2+6×3-26   于是解为2个小船和3个大船。               

     减和，5）26-10×1=16，16=4×4，于是，大1个，小1+4=5个；

           6）26-10×2=6，6=6×1，于是，大2+1=3个，小2个。

题2，每个大笼装5只鸡，每个小盒装3只鸡。有23只鸡需要大，小笼各多少个？如果是22只又各需多少个？

（答案只有一组解）

注：以上方法只适于小学，且局限于数字不是太大时。但学生如能掌握以上思维的方法，特别是减商（有时要加商，如坐大船的人数比坐小船的人数多14人，大小船各有多少？）减余和置换倒是很有用的。

解答不定方程本身就需要假设，如能在小学善于利用有余数的除法和假设，那么将来将能大为降低解答不定方程的难度。

教学原则是因材施教，除了学有余力的学生以外，不建议一般的学生学习。