例2 “万级的数位有万、十万、百万、千万”是错的。因为“万、十万、百万、千万”是计数单位, “万位、十万位……”才是数位的名称, 二者不能混淆。(某地教研室编制的测试卷)

例3 “等式两边同乘一个实数仍然相等”是错的。因为等式的性质是“等式两边乘同一个实数仍然相等”，“乘同”和“同乘”含义是不一样的。(人大复印资料《中学数学教与学》2009/1 P3)

王:我的想法还是不要过多地在抽象的问题上让学生去做这些区别,应关注对具体问题的理解“线段和长度,某种意义上说原本就是一回事”数位和计数单位之间有着密切的联系, 在遇到具体的问题时学生也不会混淆。而在字面上进行机械区分而为难学生没有多大意义。比如给一个多位数, 十万位上是3 , 这个3表示3个什么?学生能理解这样的问题就可以了。“乘同”、“同乘”并不是数学上的什么概念。说“同乘一个实数”即“同时乘一个实数”,乘的自然是相同的数, 不至于认为左边乘2右边乘3去。在这些问题上较真,会让孩子脑子里充斥着与朴素认识相矛盾的东西, 反而不利于他们对数学的理解。

施:不应拘泥于表面的文字, 而应关注学生真正的理解!

王:对, 要学会听懂孩子们的“数学普通话”！学生没有系统学过数学, 也正因为如此, 他们思考问题时也就少了一些条条框框, 有时反而更容易接近数学的本质。抛开一些名词、概念, 重要的思想往往是相通的。我一直有个想法,就是孩子的想法,原则上一定是有道理的。不管在你眼里他是聪明的还是愚笨的, 他可能没我们看得那么远,但是最近的一步往往是有道理的。能理解孩子朴素想法里可能蕴藏着的数学本质, 在此基础上逐步引导他学会讲道理, 这一点很重要。

 

“数学味”不能靠简单下放, 而需要深度思考

施:课改赋予教师更多的“教什么”的自主权。实际教学中, 我们还常看到不少课拥有十分华丽的尾巴——把一些中学甚至大学的数学知识或方法下放。比如小学里就讲实数的连续性和有理数的稠密性, 教学平行时谈到黎曼几何,往往这样的课也因为“有数学味”得到大家的肯定。对于这一点, 您怎么看?

王:有一点我们应该清楚, 就是不见得老师知道的一定要让学生知道。前不久我刚和老师们讨论过小学的《确定位置》一课,老师们都舍不得放弃研究一条直线上各点或一个三角形各定点数对的特点这个环节,甚至还有老师提要渗透直线的斜率等, 我想说,就一个特殊图形做文章这是以后会处理的事, 没有必要在刚接触坐标时蜻蜓点水地做。确定位置最重要的是什么? 应该是对参照点、方向、单位的体会! 用数对刻画位置, 是实现空间有序化结构化的基础。这是我们要重点做的文章。我们的认识可能有一些误区, 我们往往崇拜高深的, 欣赏简洁巧妙的,其实重要的思想方法往往能以极其朴素的形式表达出来。

施:蜻蜓点水般把中学数学中的某些知识在小学课堂中走一遭不是好办法, 教师要下的工夫应该是怎样在简单中显深刻, 浅显中见经典。您能再举一些例子具体谈谈吗?

王:最近几年我和小学老师有些接触, 我们会讨论一些具体问题, 挺有意思。比如估计,它是本次课程改革特别加强的内容。小学阶段,大家比较认同地把“估计”分为3种类型:计算“估计”(简称为估算) 、测量“估计”(简称为估测)和数量“估计”(简称为估数) 。我们可以看出, 它们是依据“估计”对象和内容的不同划分的。但是从数学的角度看,这3种“估计”类型拥有共同的特点,例如:都需要首先确定数量级(或单位)；结果的正确与否都需要评价者给定误差范围才能确定；结果的正确与否与实际情境密切相关等。所以这样的分类对估计的数学内涵的认识没什么实质的帮助。在“估计”的数学本质没有阐述清楚之前,就想讨论估计的策略!技巧等可能意义不大。我们不妨结合实际案例来分析, 如我们常常见到这样的题目:估算24.82×48的结果。但是这样的估算题目并没有对结果的误差范围作要求, 所以我们可以进行以下几种“估计”:一是利用四舍五人法取近似数,把原算式变为20 ×50 ,从而估计出结果的数量级为10³；二是将24.82 和48都往大估, 把原算式变为30×50确定出巧1500是原计算结果的一个上界, 再将24. 82 和48都往小估,把原算式变为20×40 确定出800是原计算结果的一个下界,这样就确定出原计算结果在800到1500这个区间中。我们还可以在此基础上,不断缩小误差范围, 求得更佳近似值。再如要估计一座15层楼的高度约是多少米, 可以以自己的身高为基准量, 估计出每一层的楼高约是多少倍的身高, 再推测整个楼的高。这里最重要的是选定“估计”的单位, 这些单位可以是科学中已经规定好的单位,如“厘米、千克”等,也可以是自己规定的单位, 如刚才我们把自己的身高当作基准量。从上面分析可以看出, “估计”中包含的数学内涵有“界、单位、数量级、误差与近似”, 而这些则是我们从小学到大学的数学学习中反复出现、贯穿始终的数学思想和方法。显然从这4 个不同维度再去审视估计, 比“估数、估算、估测”更能反映数学的本质。

施:您的分析让我们很受启发! 很多时候由于我们自身数学修养的欠缺, 不能站在更高的层次来审视小学数学。可能我们最急需的还是加强学习, 您能给我们提些建议吗?

王:我觉得单纯的学习不一定有效。不少老师有这样的经验:上大学学了高等数学, 忘了中小学数学, 回到中小学又彻底忘了高等数学。关键还在于深度的思考,从整体上去把握数学课程。我让我的学生思考, 在小学(或中学)数学里,最重要的是什么?有哪些主线? 我和学生有这样的共识:凡是反复出现的必然是重要的。我们要清楚, 教材呈现的是线性序, 但孩子的认识不一定是线性序。比如, 四则运算, 教材呈现的是加、减、乘、除的顺序, 但是一定要学了加法后才能学减法吗? 减法也可以由“倒着数数”过来。多一些这样基础性的思考, 就多了讲道理的可能。再如,教材都是先安排字母表示数,然后才有方程，但是不学字母表示数就不能学方程吗? 我并非要抹杀字母符号的作用, 或说教材必须调整顺序,我想如果能换一个角度思考, 你可能更容易发现孩子代数思维的萌芽并加以适当的引导。

如何引导学生触摸数学的本质

施:您从具体数学知识中谈应突出的数学本质,很亲切。而把对数学的认识转化成实践智慧又是很重要的一环。您可否也结合案例, 从数学的角度, 对我们教学的实施给出一些具体的分析和建议呢?

王:就从颇有争议的“鸡兔同笼”说起,如何?

案例:

问题:1支铅笔4 元,1支钢笔7元。用46 元正好买了10支笔, 怎么买?

方法1 尝试调整:

生:我先试试吧。看看买5支钢笔和5 支铅笔要多少钱。5×7＋5×4＝55(元)钱不够了, 这么买不行。

师:钱为什么不够了? 看来是什么买多了?

生:钢笔买多了。

师:为什么钢笔买多了,钱就多了?

生:因为钢笔贵。

师:那么下一步该怎么办? 应朝哪二个方向试?

生:钢笔少买些, 看看4 支钢笔, 6 支铅笔行不行。4支钢笔,6支铅笔共52元,还比46元多。钢笔还应再少一些。试1支钢笔9支铅笔共43元, 钱比46元少了。

师:这么看来, 正确的结果一定在哪里? 为什么？

生:……

方法2 穷举列表、方法3假设推理、方法4代数方程(略)

王:4 种不同的方法, 其反映的数学本质不相同,在以后的数学学习中作用也各不相同。

我曾经在北京、天津两地做讲座时询问过老师,结果小学老师有95%以上喜欢假设法, 初中老师则100%喜欢方程。方法1和方法2 因为繁琐原始、不够高级而让大家不屑。而如果跳出中小学数学来看, 方法1和方法2有着非常重要的价值。

尝试是数学里解决问题的基本思路, 在中小学可举出大量依赖尝试解决的例子。比如,减法是加法的逆运算, 我们都是学会了加法才学减法, 求15一8＝? 我们会想8+ ? =15.通常我们的教法是强化加法, 加法练得极其熟练,熟到看8+ ? ＝15就能脱口而出7的程度。实际上这个问题完全可以让学生去尝试。我可以先试着8+( 10 )＝18 ,结果比15多,说明加10 加多了, 那么再试着加一个小一点数,8+( 5 )＝13 ,结果小了, 由此一定能确定要加的数一定在5和10之间样就可以缩小范围再试,经过有限次的尝试,一定能找到结果。这个过程比纯粹为了记住一个得数的训练要有意义得多, 学生对加法的一个最基本的性质有了体验, 即加得越多,结果就越多。不提函数思想, 也不用说单调性, 这不就是具体的渗透吗?

施:尝试还能用在其他领域吗?

王:再如求不规则图形的面积, 可用方格纸覆盖分别求出过剩近似值和不足近似值, 不断地细分方格, 就能越加准确，这个过程也是尝试。再往后,解微分方程都是试, 可以说从微积分往后, 只要是需要算出值的问题,一定需要尝试。尝试可以说是数学上最重要也最基本的方法, 它突出的是极限、逼近的数学思想。

施:那么穷举法的价值又体现在何处?

王:穷举列表也是重要的, 因为它的背后就是分类。分类列举的过程是有道理的:又有铅笔又有钢笔, 先定铅笔, 再定钢笔。也就是说有两个决定因素时, 先定一个, 再定另一个, 这与所谓的代人消元, 其实是一回事。定铅笔时,从0数到10, 又可以加深学生对自然数的理解。学生有了思路之后, 引导他们列表表示, 这很重要, 把数学里的一个东西怎么表达清楚, 这也是很重要的一件事。

施:假设法一直是小学里非常推崇的一种方法，它的本质体现在何处? 为什么说它有局限性?

王:假设法把道理讲清楚,可以促进学生对除法中对应关系的理解, 1支钢笔比1支铅笔贵3 元, 一共多了几个3 元,就要少用几支钢笔。但假设法有它的局限性，如果说方程可以解决一批问题,那么假设法实际只能解决形如x + y=c1,ax+by=c2这样的方程组解决的一小类问题。从这个意义上说,尝试、列表、方程等方法应该是我们重点关注的通性通法，而方程可能不易被学生理解, 所以一方面借助生活(具体的文字表示的数量)降低其难度, 另一方面在孩子没到这个水平时千万不要强加,我想在小学高年级有可能实现。

施:实际教学中, 不见得各种方法都呈现, 而是要视学生的生成而定。

王:这一点很重要, 应该尊重学生的想法,是在学生自然产生的朴素想法上的提升"无论是哪种方法,都要讲道理, 但道理只要达到学生认知上能触及的严格就可以。基于学生自己的认识, 又突出数学本质的方法, 学生就能讲出道理来,这样的方法才真正留得住并具有生长性。

                          —— 选自《江苏教育》2010.4

 

 研 修 日 志

                           研修日志

编者按：本栏目选取本次集中培训期间骨干教师的研修日志，同各位老师交流分享。

期待  

发布者：郭保丽 发布时间： 2012-4-5 13:42:06 

告诉我

扬着串串嫩芽的细柳

是谁把你绿色的梦

轻轻的摇醒

告诉我

翩然而至的燕子

是谁把校园里嘻嘻哈哈的欢笑

堆积成五彩缤纷的梦想

告诉我

忙忙碌碌的老师

是谁让你在辛苦的工作中

却挂着满脸幸福的笑容

顷刻间我明白

春来了

“国培”来了

我默默的期待着……

桃李天下，春满天涯

（二）

靠近你，温暖我

发布者：刘素娟 发布时间： 2012-4-3 21:47:49

这是一部电视剧的名字，这个题目似乎与本次的培训风马牛不相及。但是，今天晚上在线学习的时候，我整理着材料，思索着如何着手写我此次培训的研修日志时，这个题目一下出现在我的脑海中。忽然我觉得这就是我参加此次研修学习的真实感受啊。在没有学习之前，大脑中储备的都是早期的课程标准。对于新的课程标准，没有任何接触，所以工作中有些地方难免被我忽略了。因为有了这样的学习机会，让我全面而深入的研读了课程标准，细读之下才发现，竟然有着很多的不同。新的标准更具体、深入、明 确。对我实际工作具有很强的指导作用。工作中很多没有解决的实际问题，在课程标准的范例中都有了很好的解决方法。真是有一种让人茅塞顿开的感觉。豁然开朗的心境让我既舒畅又愉悦，同时更有着感谢。所以，我想说，研修，靠近你，温暖我。

（三）

游戏也要照顾到全面

发布者：吴敏 发布时间： 2012-4-3 21:21:45

认真学习了一下《义务教育阶段数学课程标准（2011年版）》的理念及总体目标，其中基本理念的第一条中还是强调“要面向全体学生”，这一点我想不管什么时候都是不可置疑的，其重要性我们每位教师也都是深知的。但是在平时的课堂中，尤其是一些游戏类的练习中，或许只有一小部分学生才是参与者，更多的学生是旁观者。不由让我想起了本学期所听到的一节一年级随堂课《十几减9、8、7的练习课》：

 练习课的内容一般都要比新授课的内容来的枯燥些，为了要调动学生学习的兴趣，上课老师也动了不少脑筋，安排了一些游戏。例如练习二第3题（见下图）时，

 

 

就以“蚂蚁搬箱子”的游戏形式来开展练习的： 选择两组学生代表两只蚂蚁，并以开小火车的方式进行比赛，哪组用时少、正确率高就算哪组赢。课堂是很热闹，但是课堂上真正能参与游戏的同学最多只有16个人，其他三十来个同学最多只能充当一个“裁判”的角色，远不能调动他们的学习兴趣，久而久之反会打消积极性，其实对于这16个同学来说也仅仅每人练习到了一道题而已，远远没有达到练习量。所以，游戏涉及的面一定要广，照顾到全面，不能就个别学生有参与的机会。

 如果让我上这节课的话，我想我也会创设两只蚂蚁搬箱子比赛的情境，但会分成男生、女生两组，分别代表两只蚂蚁，并让学生进行赛前的“热身赛”，即让每个学生将所要代表的那只蚂蚁的题目都算一遍，轻声的说给自己听听，这样安排的目的是想让每个学生都有练习的机会，照顾到全面。然后再进行正式的比赛，既以个别口答，其余判断的形式进行，同时可以利用媒体更好增强竞争的意识。在对比赛结果进行评价之后，问输的那方服气不服气，答案当然是否定的。这时我就会提议让他们交换角色再来比一次，这样输的那方想赢，赢的那方想继续赢，进一步调动积极性。这样又比了一次，不管谁输谁赢，大家又得到了一次练习的机会，练习含概的面又多了一倍，学生在游戏中不知不觉地练习好多题目，进一步巩固了所学知识。我想这样的设计，应该能面向全体学生，让每个学生都有了参与的机会，获得了收获。

个人拙见，还请各位专家、老师指教！

（四）

 精彩，以致于忘记时间 

发布者：方齐珍 发布时间： 2012-4-6 0:40:27 

3月23日晚上20：29，手机“嘀嘀”声响起，我随手拿起一看，原来是有短信，通知“国培义务教育远程培训2012年3月26日启动。请参训学员登陆福建基础教育网（www.fijjcjy.com）国培专栏查看培训信息。”想来了去年学校把自己作为培训对象上报县教育局、教师进修学校筛选，看来是自己通过筛选，参加国培计划2011项目了。心里很是庆幸，有这样的学习机会。马上就登录福建基础网。

这个网站其实不陌生，因为前年参加福建农村教师教育教学能力提升工程培训时，就已经收在收藏夹了。有一阵子没登录这个网站了，在网站上看到了国培专栏。找到了《全国继续教育网义务教育骨干教师远程培训中小学数学初中历史初中生物学科开班通知》文件，下载找开，看到了学员登录平台的帐号及时间。迫不及待的登录学习平台。然后按照《学员培训手册》的有关介绍，进行熟悉操作。看到选课的内容，连想都不想，全部选择了课程。不为别的，就只是想要多读多学一些，虽然这段时间工作比较忙，学校事务繁多，可时间是挤出来的。选完了课程，就看起了“《义务教育阶段数学课程标准（修订稿）》的理念及总体目标”课程，听着王尚志教授、马云鹏教授、刘晓玫教授对课程标准基本理念、课程总体目标的阐述及理解、核心概念的解读，如饥似渴的听着、看着这些专家们的解读。心喜若狂，这次培训真的太及时了，认真的倾听着、思考着，从9点多一直看到凌晨一点左右！

可一看自己记时，才发现自己光注意看了，没有及时点击时间更新，以致于两次更新是因为要点击两道选择题。一晚上下来，三部分内容记时30分钟。

（五）

如何设计作业之我谈（原创

发布者：陈勇 发布时间： 2012-4-7 11:39:33 

崔玉环老师在班级论坛上提出了这样一个问题：现在，学生对待作业的态度也成为一种生活态度，为了让学生在作业过程中不感到苦恼和辛劳，您是怎么设计作业的？

说真的，这是让很多老师感到棘手的一个问题。教学这十多年来，我和同事们对这个问题多次进行了研讨。能想的都想了，能做的都做了，这样一点点地摸索着，实践着，验证着，时间久了，还真有些收获。

一、作业要少而精

就平时教学经验来说，老师布置的作业越多，学生越不愿做，少一些，他们倒是做得很快，还很开心，正确率也高一些。所以，给学生布置作业，要尽量少而精，先易后难，难易适中，让学生爱做，做了效果好。

二、让学生自己给学生布置作业

还有一个好办法，我屡试不爽的，和朋友们分享分享。就是让学生自己给学生布置作业，可以分小组进行，呵呵，检查工作也可以交给小组长呢！他们还真的拿了鸡毛当令箭，对作业的事儿乐此不疲呢！老师轻松了，学生开心了，师乐，生亦乐，何乐不为？

当然，在此过程中，教师也不可全然放手，还是要有指导，有检查的，充分做好把关工作。让学生作业做有所获，不流于形式。

三、分层作业也不错

另外，我觉得作业不可以一刀切，分层作业也不错。班里学生基础不一样，智力水平也不同，家庭情况也有差别……所以，最好是针对不同的学生情况因人制宜地设计不同的作业，在难易度、作业量、题型等方面做些功夫。让每个同学都有适合自己的作业可以做，让每个同学都在看似游戏的作业过程中爱上做作业。

……

总之，最终目的是让学生通过作业增加学习兴趣，巩固所学知识，培养数学能力，提高数学成绩，方法不一而足，适合自己的才是最好的。作为教师，只有充分吃透课程标准，充分把握教材，充分了解学生，不断摸索实践，才能最终拥有一套适合自己、适合学生的方案。设计作业如此，课堂教学亦如此。