“磨光”法及其在不等式证明中的应用

徐辉

 

 

“磨光”就是消灭问题状态间的差异，使之逐步到达平衡和均匀的状态。它一般的做法是：根据磨光目标，构造差异较小的目标函数，从而逐次逼近目标。下面，我们结合实例来说明磨光法在不等式证明中的应用。

例1、已知：http://s15/middle/8ac252fb4bc635fc9d12e&690 

求证：A≥G（等号当且仅当http://s13/middle/8ac252fb4bc635fd2ca0c&690时成立）（均值不等式，即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数）

证明：当http://s7/middle/8ac252fb4bc635fe45786&690时，显然有A=G； 

当http://s3/middle/8ac252fb4bc635feb4ef2&690不全相同时，我们来证A＞G.

不妨设http://s11/middle/8ac252fb4bc636000577a&690，

下面对http://s16/middle/8ac252fb4bc6360280cbf&690。调整规则如下：

令http://s5/middle/8ac252fb4bc6360466344&690。

      则显然有http://s16/middle/8ac252fb4bc63606604af&690

即经调整后，最小的http://s8/middle/8ac252fb4bc6360830507&690，

但http://s14/middle/8ac252fb4bc63608c430d&690（即调整后其算术平均数未变），

此时http://s16/middle/8ac252fb4bc636093aa3f&690.

      由http://s7/middle/8ac252fb4bc6360bb82c6&690

故http://s2/middle/8ac252fb4bc6360c87901&690。

于是，我们知道，经过这样的一次调整后，这n个数的算术平均没变，但几何平均数变大了。

     如此(每次调整，都把最小的“http://s15/middle/8ac252fb4bc636106378e&690.

   从而A>G.(得证)

 

 

   由以上证明我们可知。磨光法的基本思路是：为了证明A（x₁，x₂，…，x_n）≤B（x₁，x₂，…，x_n）

或A（x₁，x₂，…，x_n）≥B（x₁，x₂，…，x_n），(当且仅当x₁=x₂=http://s11/middle/8ac252fb4bc63611a551a&690x_n时取等号),

当x₁，x₂，…，x_n不全相等时,我们可以通过适当地调整x₁，x₂，…，x_n,使得在调整的过程中总保持

http://s2/middle/8ac252fb4bc63612468b1&690

或http://s15/middle/8ac252fb4bc636153e38e&690).

这样便可说明原命题成立.我们再看下面的例子。

 

 

例2、证明:在圆的内接n边形中,以正n边形的面积为最大.

证：设圆的半径为R，其内接n边形各边所对的圆心角分别为http://s13/middle/8ac252fb4bc636177990c&690，则n边形的面积

S=http://s6/middle/8ac252fb4bc63617e3325&690

设A=http://s11/middle/8ac252fb4bc636187f60a&690，

当http://s10/middle/8ac252fb4bc63619eea69&690.

当http://s6/middle/8ac252fb4bc6361c4d905&690,

作调整: http://s16/middle/8ac252fb4bc6361bee04f&690,

令A₁=http://s8/middle/8ac252fb4bc6361db07f7&690,

考察http://s4/middle/8ac252fb4bc6362027d13&690

=http://s13/middle/8ac252fb4bc63620eab1c&690

http://s13/middle/8ac252fb4bc63623718fc&690，

http://s4/middle/8ac252fb4bc63624eaa13&690，

http://s11/middle/8ac252fb4bc636259860a&690,

由函数http://s1/middle/8ac252fb4bc6362812890&690,

又http://s5/middle/8ac252fb4bc6362a9e0c4&690,  

从而有http://s7/middle/8ac252fb4bc6362b6d856&690.

如此经有限次调整必有:http://s10/middle/8ac252fb4bc6362c6cb29&690. 故原命题得证.

 

 

特别地，若A，B，C为三角形的三内角，仿上例的证明可得：

①http://s6/middle/8ac252fb4bc6362d03545&690       ②http://s11/middle/8ac252fb4bc6362e6bf2a&690

③http://s10/middle/8ac252fb4bc6362dfa9c9&690         ④http://s13/middle/8ac252fb4bc6362f5cd2c&690

 

 

例3、设http://s15/middle/8ac252fb4bc63630439fe&690

证：由题意知，http://s10/middle/8ac252fb4bc636311ca39&690

令S=http://s1/middle/8ac252fb4bc636330a050&690 

当http://s4/middle/8ac252fb4bc636341f303&690。

当x，y，z不全相等时，不妨设http://s15/middle/8ac252fb4bc63634a59ee&690，

若http://s5/middle/8ac252fb4bc6363571534&690。

因此可设http://s2/middle/8ac252fb4bc63637fcab1&690，

新和S₁=http://s2/middle/8ac252fb4bc63638ac401&690

则http://s2/middle/8ac252fb4bc6363970441&690

http://s8/middle/8ac252fb4bc63639d0667&690

=http://s2/middle/8ac252fb4bc6363a321f1&690， 

若http://s13/middle/8ac252fb4bc6363e80fac&690,

又http://s6/middle/8ac252fb4bc6363e0b0e5&amp;690,于是S₁－S>0,   S<S₁,

如此至多经两次调整即有http://s7/middle/8ac252fb4bc6363f809b6&amp;690.得证。

 

 

由以上几例，我们可以看出，磨光法构思巧妙，方法独特，适当应用，往往会有意想不到的功效，希望同学们能够灵活掌握。下面附上两个题目，供同学们练习。

练习：1、设http://s16/middle/8ac252fb4bc636408b0bf&amp;690的最小值。

      2、设http://s4/middle/8ac252fb4bc63641fdd73&amp;690的最大值。