例谈数学归纳法的几种表现形式

徐  辉

数学归纳法是高中数学中最基本也是最重要的方法之一，它的实质在于将一个无法（或是很难）穷尽验证的命题转化为证明两个普遍命题：“p(1)真”和“若p(k)真，则P(k+1)真”。数学归纳法有多种表现形式，下面我们结合例题对之作一个简要的阐述。

一、第一数学归纳法  此即高中数学所学习的数学归纳法，设p(n)是关于自然数n的命题，若

①（奠基）p(1)成立；

②（归纳）假设p(k)成立可以推出p(k+1)成立，则p(n)是对一切自然数n均成立。

例1：(参见例6).

二、第二数学归纳法  设p(n)是关于自然数n的命题，若

①（奠基）p(1)成立；

②（归纳）假设当n≤k（k为任意自然数）时p(1≤n≤k)成立可以推出p(k+1)

成立，则p(n)是对一切自然数n均成立。

第二数学归纳法的变式：

①http://s11/middle/8ac252fb4bc6354db5c9a&690成立；

②假设http://s14/middle/8ac252fb4bc6355108edd&690成立。

例2：已知数列http://s2/middle/8ac252fb4bc6355313b21&690（n=1,2,…）求证：

http://s7/middle/8ac252fb4bc635539ddc6&690（n=1,2,…）

证：(1)n=1时,http://s9/middle/8ac252fb4bc63553f5e98&690,

而http://s3/middle/8ac252fb4bc635548d7a2&690.   故当n=1时命题成立; 

 当n=2时，http://s10/middle/8ac252fb4bc63555f8d19&690，

http://s5/middle/8ac252fb4bc635557e244&690, 故当n=2时命题也成立.

(2)假设当http://s8/middle/8ac252fb4bc635584fd37&690时,

http://s10/middle/8ac252fb4bc6355a89fd9&690

http://s4/middle/8ac252fb4bc6355ba22e3&690

http://s10/middle/8ac252fb4bc6355c3a1e9&690

http://s12/middle/8ac252fb4bc6355ca4efb&690.

 

    所以http://s9/middle/8ac252fb4bc6355d53f38&690时命题也成立,从而原命题对一切自然数均成立.

三、跳跃式数学归纳法  设p(n)是关于自然数n的命题，若

①http://s2/middle/8ac252fb4bc6355decba1&690成立；

②假设http://s5/middle/8ac252fb4bc63560ecfc4&690成立。

例3、试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何n(n>7,nhttp://s9/middle/8ac252fb4bc635623ed78&690N)分的邮资。

证：(1) 当n=8,9,…,15时,直接验证知命题成立.

(2)假设当n=k(k>7)命题成立,则当n=k+8时,命题显然也成立.

故原命题得证.

四、双重数学归纳法

设http://s4/middle/8ac252fb4bc63562d8fa3&690是与两个独立的自然数m和n有关的命题，若

①http://s15/middle/8ac252fb4bc635634a02e&690成立；

②对任意的自然数http://s15/middle/8ac252fb4bc635662057e&690都成立，则对任何自然数m和n, http://s4/middle/8ac252fb4bc63567233f3&690都成立。

例4：已知http://s8/middle/8ac252fb4bc63568d7ae7&690

证：(1)当m=n=1时,不等式成立;

(2)对任意的k,l,假设有http://s3/middle/8ac252fb4bc6356ac2d62&690,则

  http://s1/middle/8ac252fb4bc6356b42a70&690

  http://s6/middle/8ac252fb4bc6356c9af95&690

即http://s13/middle/8ac252fb4bc6356e911bc&690都成立,故原命题成立.

 

五、跷跷板数学归纳法  有两个与自然数有关的命题A_n,B_n,若

①A₁成立；

②假设A_k成立可推出B_k成立；假设B_k成立可推出A_k+1成立，则对于任意自然数n, 命题A_n和B_n均成立。

例5:  设0<a<1, 已知 a₁=1+a,  a_n=http://s5/middle/8ac252fb4bc6357038e24&amp;690.

证: 令A_n: http://s9/middle/8ac252fb4bc63570abb68&amp;690,  B_n: http://s16/middle/8ac252fb4bc6357135fcf&amp;690

(1) 当n=1时,http://s7/middle/8ac252fb4bc635715a0e6&amp;690,故A₁成立.

  当n=2时,http://s3/middle/8ac252fb4bc63571e9e22&amp;690,

故A₂成立.

(2) 假设当http://s5/middle/8ac252fb4bc63573dc784&amp;690, 则

http://s4/middle/8ac252fb4bc6357466bc3&amp;690, 故B_n成立;

假设B_n成立,即a_n>1(nhttp://s14/middle/8ac252fb4bc635765fddd&amp;690,故A _k+1成立.

综上(1)和(2)所述知对任意的http://s8/middle/8ac252fb4bc635782e617&amp;690,都有 http://s4/middle/8ac252fb4bc6357936413&amp;690.

六、反向数学归纳法  设p(n)是关于自然数n的命题，若

① p(n)对无限多个自然数n成立,

② 假设p(k+1)成立可推出p(k)成立,则命题对一切自然数n都成立.

例6: 设http://s2/middle/8ac252fb4bc6357a1d021&amp;690.(#)

证: (1) 首先证明当http://s10/middle/8ac252fb4bc6357bad399&amp;690成立(对m用第一数学归纳法)

http://s1/middle/8ac252fb4bc6357c9b580&amp;690显然成立；

http://s11/middle/8ac252fb4bc6357ecb8fa&amp;690,则当m=k+1, 即n=2^k+1时，http://s5/middle/8ac252fb4bc6357f4a0f4&amp;690

http://s8/middle/8ac252fb4bc6358063567&amp;690

http://s2/middle/8ac252fb4bc63580b0381&amp;690

http://s14/middle/8ac252fb4bc635815108d&amp;690。故当m=k+1，不等式也成立。

从而当http://s8/middle/8ac252fb4bc6358256a87&amp;690成立。

(2)(对n用反向数学归纳法) 假设当n=k+1时,(#)式成立,

则当n=k时，令Ａ＝http://s1/middle/8ac252fb4bc63583795b0&amp;690，

从而 http://s16/middle/8ac252fb4bc635849f9cf&amp;690

所以http://s13/middle/8ac252fb4bc635868484c&amp;690，故当n=k时，(#)式也成立，从而对一切自然数n(#)式都成立．