函数奇偶性在解题中的应用

徐辉

函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是日常考试和高考中数学的重点和热点内容之一。它应用广泛，在高中数学的各个分支中都有着极为重要的应用，在解题过程中如果应用的好，常能使难题变易，繁题变简，起到事半功倍的效果。

1．用于求值

例１：已知奇函数http://s3/middle/8ac252fb4bc6314da7272&690    

解：因http://s10/middle/8ac252fb4bc6314d76e09&690   为奇函数，

所以对任意http://s8/middle/8ac252fb4bc6314e905a7&690成立．

令http://s1/middle/8ac252fb4bc63150bd8d0&690；

令http://s5/middle/8ac252fb4bc6315351804&690，

从而http://s11/middle/8ac252fb4bc631539f2da&690

http://s5/middle/8ac252fb4bc631541b9e4&690

http://s4/middle/8ac252fb4bc63154b5793&690．

故http://s5/middle/8ac252fb4bc63155186f4&690．

注：此解利用了若函数http://s12/middle/8ac252fb4bc6315887ffb&690．

2．用于比较大小

例２．已知偶函数http://s1/middle/8ac252fb4bc6315a52790&690的大小.

解：因为http://s5/middle/8ac252fb4bc6315c680e4&690的大小即可．

又因http://s4/middle/8ac252fb4bc6315f125a3&690

所以http://s4/middle/8ac252fb4bc631602e7a3&690．

注：此解利用了若函数http://s2/middle/8ac252fb4bc63162de231&690是单调递增的，然后再用单调性进行求解．

3．用于求最值

例３．如果奇函数http://s4/middle/8ac252fb4bc63163d6613&690在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么在区间[-7,-3]上是（）

A. 增函数且最小值为-5    B. 增函数且最大值为-5

C. 减函数且最小值为-5    D. 减函数且最大值为-5

解：由http://s9/middle/8ac252fb4bc63165461f8&690,

又http://s2/middle/8ac252fb4bc63165501b1&690是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称,

故有http://s14/middle/8ac252fb4bc63166d783d&690，

故选B.

注:此解利用了奇函数图象关于原点对称这一性质.

4．用于求参数的值

例4.已知函数http://s16/middle/8ac252fb4bc631672b06f&690(a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1)=2，f(2)＜3，求a、b、c的值.

解：由http://s7/middle/8ac252fb4bc63168551b6&690是奇函数，知f(-x)=-f(x)，

从而http://s3/middle/8ac252fb4bc63168a0f12&690，即-bx+c=-(bx+c)，c=-c，∴c=0.

又由f(1)=2，知http://s15/middle/8ac252fb4bc6316919dae&690，得a+1=2b①，

而由f(2)＜3，知http://s2/middle/8ac252fb4bc6316a9dd81&690②

 

由①②可解得－1＜a＜2.

又a∈Z，∴a=0或a=1.

若a=0，则b=http://s7/middle/8ac252fb4bc6316b41bb6&690，应舍去；

若a=1，则b=1∈Z.

∴a=1，b=1，c=0.

注：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想建立方程或不等式，组成混合组，最终使问题得以解决. 当然此题也可采用取特殊值的方法得到c的值，如由f(－1)=－f(1)，可得c=0.

5．用于求函数的解析式

例５．已知定义在(－∞，+∞)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x²－2x+2，求函数f(x)的解析式。

解：当x<0时，－x>0，故f(－x)=(－x)²－2(－x)+2=x²+2x+2

因函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，

于是f(－x)=－f(x)，从而当x<0时，f(x)=－f(－x)=－(x²+2x+2)=－x²－2x－2，

又当x=0时，f(0)=f(－0)=－f(0)，从而f(0)=0，

因此f(x)在(-∞，+∞)上的解析式是http://s7/middle/8ac252fb4bc6316ba24f6&amp;690

 

 

 

注：(1)若x=0在奇函数的定义域内，则其图像必过原点；(2)由奇偶函数在原点一侧的解析式，必能求得它在原点另一侧的解析式，基本思想是通过“－x”实现转化；(3)容易漏求当x=0时的解析式（前提是指０在定义域内）．

6．用于讨论函数的单调性

例６．试讨论函数f(x)=http://s3/middle/8ac252fb4bc6316c32ca2&amp;690的单调性．

解: 易知f(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数, 因此可先讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性, 再根据奇函数的图像关于原点对称这一性质得到f(x)在(-∞,0)上的单调性.

设http://s13/middle/8ac252fb4bc6316e5539c&amp;690

①若http://s15/middle/8ac252fb4bc631716043e&amp;690

所以http://s2/middle/8ac252fb4bc631721e401&amp;690，故f(x)在（0，2]上单调递减；

②若http://s5/middle/8ac252fb4bc6317522954&amp;690

所以http://s11/middle/8ac252fb4bc63175e5d5a&amp;690，故f(x)在（2，+∞）单调递增．

又因f(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数, 其图像关于原点对称

故f(x)在[-2,0)和（0，2]上单调递减，在(-∞,-2)和（2，+∞）单调递增．

注：利用函数的奇偶性讨论函数的单调性，只需讨论原点左或右单侧的单调性，然后利用对称性写出另一侧的单调性即可．

7．用于判断函数奇偶性

例７. 已知函数http://s5/middle/8ac252fb4bc63177991d4&amp;690（ ）

A. 是奇函数 B. 是偶函数

C. 可能是奇函数也可能是偶函数 D. 不是奇函数也不是偶函数

解：令http://s15/middle/8ac252fb4bc63178d758e&amp;690,

则http://s3/middle/8ac252fb4bc6317970ce2&amp;690

 

所以http://s16/middle/8ac252fb4bc63179e113f&amp;690是奇函数，

又http://s16/middle/8ac252fb4bc6317a76f7f&amp;690是偶函数,

因此f(x)是奇函数，故选A。

注:一般地,在公共的定义域内,我们有:奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数， 奇函数×偶函数=奇函数. 运用以上性质可帮助解决和积函数的奇偶性问题.

8．用于判断函数图像的对称性

例8.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)http://s13/middle/8ac252fb4bc6317d4da1c&amp;690，

试证：（1）f(0)=1;  (2)f(x)的图象关于y轴对称。

解：（1）令x=y=0，有http://s7/middle/8ac252fb4bc6317fa9526&amp;690  ∴http://s16/middle/8ac252fb4bc631803bb3f&amp;690;

（2）令x=0，得http://s7/middle/8ac252fb4bc631808a656&amp;690

∴http://s15/middle/8ac252fb4bc631812e48e&amp;690

∴http://s2/middle/8ac252fb4bc631821a4c1&amp;690为偶函数，

∴http://s11/middle/8ac252fb4bc63183d212a&amp;690的图象关于y轴对称.

注:(1)如果能说明一个函数是奇函数或是偶函数,就能说明它的对称性;(2)抽象函数奇偶性的证明，常用到赋值法及奇偶性的定义.

9．用于解方程

例9．解关于x的方程http://s3/middle/8ac252fb4bc63184727e2&amp;690.

解：原方程等价于http://s10/middle/8ac252fb4bc63184ec729&amp;690，

令http://s5/middle/8ac252fb4bc63186c3844&amp;690，

若再令http://s8/middle/8ac252fb4bc63187a0d47&amp;690，

考察函数http://s9/middle/8ac252fb4bc6318929298&amp;690，

从而http://s15/middle/8ac252fb4bc6318982bee&amp;690，

故http://s4/middle/8ac252fb4bc6318a82543&amp;690．

 

注：此题若使用常规解法将会比较繁琐，而若能仔细观察方程形式上的特点，灵活应用函数奇偶性进行求解，则会使问题变得非常简捷．

 

 

10．用于解不等式

例：已知定义在(-1,1)的函数y＝f(x)既是奇函数又是减函数，解不等式f(1-x)+f(1- x²)＜0．

解：先求f(1-x)+f(1- x²)的定义域：http://s10/middle/8ac252fb4bc6318bd0a29&amp;690 ①

不等式f(1-x)+f(1-x²)＜0，即f(1-x)＜-f(1-x²)

因为f(x)是奇函数，故有-f(1-x²)=f(x²-1)

从而原不等式就化为：f(1-x)＜f(x²-1).

又已知f(x)是减函数，所以1－x＞x²－1，即x²＋x－2＜0，可得－2＜x＜1 ②

由①②可得{x|0＜x＜1}．

注：此题的解题思路是首先利用函数的奇偶性，将不等式f(1-x)+f(1- x²)＜0化为f(1-x)＜f(x²-1)，再利用函数的单调性，去掉函数符号f，将之化为普通的不等式1－x＞x²－1，然后再进行求解．在求解的过程中，要特别注意函数的定义域对x的限制．

11．用于证明不等式

例11．证明关于http://s14/middle/8ac252fb4bc6318c93a3d&amp;690成立．

证：令http://s10/middle/8ac252fb4bc6318d77da9&amp;690，

 

http://s5/middle/8ac252fb4bc6318eddf14&amp;690

 

 

 

 

 

 

 

 

 

故http://s3/middle/8ac252fb4bc6318fdb4b2&amp;690为偶函数．

而当http://s9/middle/8ac252fb4bc63190db958&amp;690，

从而当http://s3/middle/8ac252fb4bc63192bc922&amp;690，

故http://s6/middle/8ac252fb4bc63194381f5&amp;690成立．

注：利用函数的奇偶性证明不等式，需先构造一个函数并证明这个函数的奇偶性，然后再利用这个函数的奇偶性进行解题，在解题的过程中，要充分利用奇偶函数的定义及图像的对称性等性质．