关于双对称函数周期性的几个命题及其应用

                                                                      徐辉

若一个函数的图象具有两条对称轴，或两个对称中心，或一个对称中心及一条对称轴，则称这样的函数为双对称函数。

命题1、若函数http://s12/middle/8ac252fb4bc6301237c5b&690的周期函数。

证明：因为函数http://s16/middle/8ac252fb4bc63014450bf&690对称

所以http://s16/middle/8ac252fb4bc630149e5ff&690

http://s9/middle/8ac252fb4bc63015fd8a8&690

所以http://s6/middle/8ac252fb4bc6301713f75&690

特例：若偶函数http://s15/middle/8ac252fb4bc6301ad7cce&690的周期函数。

命题2、若函数http://s15/middle/8ac252fb4bc6301eca94e&690的周期函数。

证明：因为函数http://s14/middle/8ac252fb4bc630217b34d&690对称

所以http://s6/middle/8ac252fb4bc6302106fd5&690

http://s12/middle/8ac252fb4bc630227190b&690

所以http://s6/middle/8ac252fb4bc630238a175&690。

特例：若奇函数http://s8/middle/8ac252fb4bc63029d6487&690的周期函数。

命题3、若函数http://s3/middle/8ac252fb4bc6302d74592&690的周期函数。

证明：因为函数http://s15/middle/8ac252fb4bc630304e1be&690对称

所以http://s14/middle/8ac252fb4bc630304af6d&690

http://s16/middle/8ac252fb4bc63031d5b7f&690

所以http://s16/middle/8ac252fb4bc63032bb7ff&690。

特例：①若奇函数http://s16/middle/8ac252fb4bc630381b6af&690的周期函数。

以上几个命题说明了对称中心在http://s12/middle/8ac252fb4bc6303a4cdbb&690轴的双对称函数必是周期函数，这个性质在高中数学学习中有着较为广泛的应用，现略举几例加以说明。

例题1、设函数http://s1/middle/8ac252fb4bc6303eb2e80&690（    ）

A、http://s2/middle/8ac252fb4bc63040033c1&690    B、http://s16/middle/8ac252fb4bc630408485f&690    C、http://s8/middle/8ac252fb4bc6304118477&690    D、http://s5/middle/8ac252fb4bc63041db704&690

分析：函数http://s7/middle/8ac252fb4bc63043f6856&690，故函数图像又关于点（1，0）对称，故此函数图像有两个对称中心（0，0）及（1，0），从而由命题2可知此函数为周期函数，且周期为2。

解：因为函数http://s9/middle/8ac252fb4bc6304854da8&690，

从而由当http://s14/middle/8ac252fb4bc6304c2f9bd&690

故当http://s13/middle/8ac252fb4bc6304efb73c&690

故答案为D.

例题2、已知函数http://s10/middle/8ac252fb4bc630520e6f9&690（    ）

A、2         B、-2        C、4            D、-4

分析：由函数http://s5/middle/8ac252fb4bc630588d9a4&690是周期函数。

解：http://s1/middle/8ac252fb4bc6305b35bb0&690的图像关于点（1，0）对称。