三、向着积累经验走一步

“课标2011年版”将数学教学中的“双基”变成了“四基”，增加了“基本活动经验”和“基本思想”。对于基本活动经验这一目标的达成，更重要的是在数学活动中体验、感悟、反思，从而生成经验。经验是在活动过程中累积起来的，不可能从外界直接输入。因此，在我们的数学教学中，不能只是盯着知识目标，需要将“过程”做足，丰富学生的感受和体验。

在教学“角的度量”时，因为此前已经有了长度和面积的测量基础，如何有效利用这个基础呢？教学时，我们先启发学生独立思考：如何得知某个角的具体大小呢？人们发明创造量角器之前，是用什么来测量角的大小的呢？学生可能不知道如何回应，甚至可能不知道思考的方向，但这恰恰说明，有必要给学生直面这些问题进行思考的机会。然后教师引导：我们回顾一下以前测量过什么（长度和面积）。学生回忆：长度用1厘米、1分米这样的小长度单位来测量；面积是用1平方厘米、1平方分米这样的小面积单位来测量。通过类比推理，可以得到：大长度用小长度来量，大面积用小面积来量，而大角可以用小角来量。

有了这样的经验，在以后的学习中，学生可以顺势推理出：大体积用小体积来度量，大质量用小质量来度量。有可能很多教师觉得没有必要这样做，不是我们的知识教学的范畴，但数学应该是让人生发智慧的学科，应该挖掘知识所蕴含的附加值。

【案例3】

说起测量，我们在七年前开发了一个当时还颇具争议的案例：《“做尺子”真的有必要吗？》。这是一节“厘米的认识”，教材的目标定位是：经历用不同的工具测量同一物体长度的过程，体会统一长度单位的必要性；认识厘米，体会厘米的实际意义；会用刻度尺测量物体的长度。

从知识和技能目标来说，一般会认为这节课的重点应该放在最后一点上，即让学生掌握一定的测量技能。而我们开发出来的课例则有所不同，最引人关注的就是为了让学生充分建立厘米的表象，理解厘米的实际意义，课上让每个学生用25px的小棒在纸条上做了一把尺子。对于第一次接触长度单位，且操作能力有限的一年级孩子来说，自己动手做一把尺子是有一定难度的，用时较长，课堂上安排的测量操作的时间势必减少。因此，研讨会上就产生了“有必要做尺子吗”这一讨论，引起了参会教师观点的激烈碰撞。

支持方主要是从过程、体验的角度来阐述理由和观点，并提出测量技能这一目标可以在下节课甚至以后的课中逐步达成，不必也不能期望在一节课中达成所有的目标，希望仅仅靠一节课掌握“测量技能”不可行也不切实际。

而反方则认为，用时这么长不可取。建立厘米表象的目标，让学生用手比划、估测同样能达成，何必让学生用25px小棒一一描画，实效性差，课堂任务完不成。反方承认这种探究过程有一定价值，但是质疑价值究竟有多大，质疑“所有的知识都需要学生去体验吗”。

现在回头看，从“基本经验”的角度，这个案例的价值其实不言而喻，其价值至少体现在以下四个方面：1.实现了动态的测量；2.有利于厘米概念的建立；3.便于单位与单位的对比；4.体现了长度单位的可加性。（张丹）

四、向着深刻理解走一步

数学是逻辑性很强的学科，向来强调理解，帮助孩子深刻理解数学知识与内容的重要性是不必赘述的。但就某个领域、某个内容而言，具体内容有具体方法。比如，初次接触竖式，最好能结合口算与竖式的联系理解算法，不要急于用竖式进行强化练习；计算课，不能只就着一个例题交流一次算理，便开始进行程式化的大量操练，很可能技能是掌握了，但算理却不甚理解，得不偿失；对“面积的认识”，学生的原始基础往往是模糊不清的，有必要让孩子就着黑板，比划比划黑板面积到底指的是哪部分，明确用手掌将黑板面全部摸到，而不是用指头可以“指”出来……

【案例4】

体会“平均数、中位数、众数”各自的意义和作用，对小学生来说是比较困难的。平均数因为“关照”到了一组数据中的每个数据，所以一般情况下能比较好地代表一组数据的集中趋势。但这个优点，也是平均数“致命的弱点”。如果这组数据中出现极端数据（个别数据偏大或者偏小），平均数就会受其影响，不能很好地代表这组数据的集中趋势。于是，就有了学习中位数和众数的必要。中位数和众数虽然不会受极端数据的影响，但是它们又不能像平均数一样，“关照”每一个数据，所以有时也不能完全反映出一组数据的集中趋势。因此平均数、中位数、众数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，教学的价值在于帮助学生理解并能够根据需求选择不同的统计量描述一组数据的基本特征。这是学习过程中的难点所在。如何让学生比较直观而深刻地理解这三种统计量的意义呢？我们开发了这样一个环节，较好地突破了这一难点。

某小学五年级五个班学生中会滑滑板的人数分别是：19，20，21，21，24。

师：用什么数可以比较好地反映这组数据的整体水平？（平均数、中位数、众数都行）

师：如果将24变成49，也就是19，20，21，21，49，现在用什么数可以比较好地反映这组数据的整体水平？

（学生分别计算出平均数、中位数、众数后汇报）

生：这样变化后，中位数没有变，众数没有变，但平均数变了。

生：对，平均数变大了。

师：用什么统计量来表示比较好？

生：用中位数或者众数比较好，因为49是一个极端数据，这时用平均数不好。

师：如果将49变成56呢？（19，20，21，21，56）

生：还是中位数和众数不变，平均数进一步变大。用中位数和众数表示整体水平比较好。

师：如果将19变成4呢？（4，20，21，21，24）

生：中位数和众数依然不变，平均数变小了。还是用中位数和众数表示整体水平比较好。

师：怎么平均数总是在变化？

生：每个数据的变化都影响到平均数。反过来说，平均数受每个数据的影响。这是平均数的优点，也是它的缺点。

领着孩子往前走一步，其前提是教师自己得不断往前走。这需要教师对教学内容有深刻的理解，对学情有准确的把握，对教育和教学的方式方法不断调整和改良，也需要对课堂和儿童保持敏感之心，及时调控与捕捉现场生成，作出判断和决策。

如何有效促进学生往前走一步呢？就课堂组织策略而言，至少有以下三种策略可以帮助学生“往前走”。

“发酵”策略 我喜欢把学生集体的学习过程称作“发酵”。“发酵”是一种隐喻。“隐喻是对个人实践知识富有想象力的表达，它使个人探寻包含在隐喻背后的隐性知识成为可能。”普通意义上的“发酵”，指的是一个过程或一种行动，是生物体所进行的一种化学反应。它与学习的相似之处在于：发酵是在常温、常压下进行的，而最佳的学习也应该是在师生放松、自然的状态下进行的；发酵是生物体通过自动调节方式来完成的，而学习过程则是学生主动参与意义建构的过程，这样的学习过程，是我心中“理想的学习过程”。

在课上，我们可以更多地借用精简的语言来引导学生的讨论，如“她说的是什么意思？我怎么好像有点不明白呢？”“他说得有道理吗？”“是这样吗？”以此来激发学生的解释性行为，而解释性行为则是培养学生数学交流与数学思想的重要内容和环节。此外，为了给学生提供“发酵”的外部条件，应该在课上让出一定的教学时间和空间，来保障学生的思考与对话的充分进行。

 “示强”“示弱”的调和策略 “示强”策略展现的是教师“强势”的一面，是教师根据自己的理解，对教学作出“自主决策”，并且进行“管控”，可以通过教学决定、教学语言等表现出来。有时候，课堂上需要教师迅速地对学生的提问或其他生成资源进行价值判断，即“是否需要继续关注”。在这个过程中，并没有学生的直接参与，是教师“强势”的行为，如“这个问题有意思，但我们下课再讨论！”或许，教师认为这个问题远离了讨论的主题，于是用这样的方式委婉地拒绝了学生，不容商量地制止了进一步的探讨。从某种意义上说，这种“强势”行为、“示强”策略，是由教师的角色所赋予的，引导教学是教师必须承担的教学任务之一。然而，关于如何“示强”、何时“示强”的认识与行动，是需要我们每位教师在实践中、在长期行动中反思而形成的。

与“示强”策略相比，“示弱”策略显得比较“谦逊”，教师有意识地弱化“已知已觉”的角色形象。如，在遇到多数学生不理解当前讨论的问题（往往是由学生提出来的生成性问题）时，一般有两种选择：教师讲解或学生讲解。我比较倾向于后者，通过“他说的是什么意思，我怎么好像有点不明白呢”故意示弱，把学生往前推，去直面问题。因为教师讲解的逻辑不一定就是学生思维的逻辑；孩子之间的语言与思维更相近，学生自己解释，通过语言的再加工，能更好地理解问题。更重要的是，学生的学习过程是教师所无法替代的。在这种理念的指引下，我经常选择“退一步”和“无为”，只有这样，学生才有可能“进一步”，才有可能“有所为”。

“示强”“示弱”策略在“进进退退”“有为无为”之间调和：在教学环节和内容方面，教师应根据个人认识进行“强势”选择和紧紧“把控”；而在学生探究、思考方面，一般需要弱化自己“监管者”的形象，减少“干涉”。在调和中，营造的不仅仅是一个张弛有度的教学空间，更是一种师生关系。杜威也曾经指出：“人类的思维喜欢陷入非此即彼、二元对立的极端，在极端之间不容许有相互调和的可能性。”通过调和，寻找一种相对平衡的思维方式和状态，对于优化教育教学的实践极为重要。

“民主”策略 曾经有一位北大教育学院的博士长期观察我的课堂后追问：为什么没有强调课堂常规，学生却有着良好的秩序；没有“驱赶”，学生却自己“跑”起来；没有教师的提醒，学生在讨论时却懂得认真倾听和相互尊重；而且，师生之间还有一份可贵的“默契”，这又是从何而来的呢？这应该要归功于“民主”策略。通过民主的班级文化建设，能卸下学生身上的压抑、顾虑和拘谨，使每个孩子都能获得展现自我的机会，建立自信心，并学会相互尊重。师生之间建立起这份民主意识、相互信任和安全感很不容易。这位博士不满意这样的回答，课后找学生进一步咨询。一位腼腆的小男孩说，他现在不“怕”举手回答问题了，班里的其他同学也都不“怕”，因为既使回答得不对，也是同学们学习的宝贵资源。所以，班上才会看到勇于提问的学生，才会看到跑上讲台边说边画的“小老师”。正是这样的班级文化氛围，滋养着教学，接纳着孩子们的坦然、投入与勇敢！

“儿童需要安全和保护，才能去冒险！”民主的课堂文化，才能让孩子大胆地往前跨一步。