说文解数

首都师范大学初等教育学院   郜舒竹

“说文解数”指的是从语文的视角看待表达数学对象的语言，这样的语言通常有两方面的含义，其一是学生熟悉的一般意义，其二是在数学中的待定意义。有些时候这二者是很接近的，比如数学运算中的“加”和“减”，在数学中表达运算过程的含义与日常用语的含义基本上一致的。但也有二者的含义很难沟通的情况，比如乘法运算中的“乘”，学生熟悉的含义可能是“乘车”、“乘风破浪”等等，而在数学中表达的是“相同加数求和”，这两个含义似乎风马牛不相及。这里必然会给学生的理解造成困难。因此在数学课程与教学研究中应当重视“语文”因素，实现数学语言的和般意义与数学意义的沟通，让学生能够通过语文理解数学。下面通过几个例子进行说明。

一、“几何”与“方程”究竟何义

“几何”一词是明代学者徐光启（1562－1633）在与意大利传教士利玛窦（Matteo  Ricci，1552－1610）合作翻译古希腊欧几里得的《原来》的时候首次使用的。关于徐光启选用这个词的原因经过考评主要有两种观点。第一种认为是在翻译《原来》中“Geometry”这个英文单词时考虑了两个方面因素：其一是这个词汇具有“测量地球”的意思，而测量的过程实际上就是想知道“多少”的问题，古汉语中“多少”通常用“几何”这个词汇来表达，这是意译；其二是英文单词的前缀“Geo”的发音接近汉字“几”的发音，所以“几何”是意译和意译的翻译。^[1]另一种观点认为“几何”是对“Magnitude”这个英文单词的意译。^[2] “Magnitude”是“量”的意思，而研究量其实关心的就是“多少”，所以用“几何”。两种观点的共同之处就是“几何：与测量以及数量的多少直接相关。姑且否认哪一种观点是正确的，这些内容起码包含了语文及其文化方面的知识，这些知识对于数学学习都是重要的。

“方程”这一数学术语与“几何”不同，并非外来语的翻译，而是我国古人命名并没用至今。由于时间久远，其一般意义与数学意义的联系已经不明显了，就是说从“方程”的字面上很难联想出其“含有未知数的等式”这一数学意义。在古汉语中，“程”最初是一种度量单位，后来引申为有度量的意思。比如，“程者，权衡丈尺斛斗之平法”的说法，^[3]就把“程”理解为各种不同大小的计量工具之间如何平衡（其实就是互相转化）的方法。这样的理解在许多词汇中都有所体现，比如“路程”就是试题所走路的结果。按迄今的考证，“方程”一词在我国数学文献中使用早出最早的是《九章算术》第八章。刘徽在其注释本中对方程的解释为：“群物总杂，各列有数，总言其实，另每一行为率，二物者再程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”^[4]这句话的大意是说，多个未知数的时候，就需要分别排列出来共同考虑。其中“方”指的是排列出来的形状，“程”就是试题方法的意思。这实际上就是现在数学中的线性方程组。在《九章算术·音义》中对“方程”的解释为：“方者，左右也。程者，课率也。左右课率，总统群物，故曰方程。”^[5]这句话的意思是说给未知量醒目相应的系数，使得左右相等就是方程。其中的“方”是左右，“课率”用现在的语文说就是配上系数。这样 的解释与现在所说的“含有未知数的等式”十分接近。

二、加法的结果为什么是“和”，而不是“合”数学术语是前人命名或者翻译，经过长时间历史沿革沿用至今的。由于文字本身含义的逐步变迁，原始的含义发生了变化。比如，为什么加法的结果用“和”而不是“合”？按照一般的理解，似乎“合”更为恰当。按照何金松所著《汉字文化解读》^[6]的解释，“和”最初的意思是树上的小鸟此唱彼和的场景，后来引申为很多人演唱或演奏时乐意的谐和，所谓乐音的谐和是多种声音听起来就像一个声音。由此可以推断“和”是“两个或多个在一起就像一个”的意思。比如日常生活中所说的“和面（音：huómiàn）”，其意义就是面粉和水融为一体。中国传统的娱乐项目“打麻将”中的“和牌（音：húpái）”，是把零散的牌融为一个互相关联的整体。这显然与数学中加法的意思相吻合。而“合”字真实的意思是“关闭”，后来引申为“聚集”，才有了现在联合的意思。

三、为什么一定要把“6÷2”读作“6除以2”

先来说说乘法运算中的“乘”字，一般意义通常会联想出“乘风破浪”、“乘车”的意思，很难看出其数学含义“相同加数求和”的联系。如果略加考证就可以作出如下的解释，“乘”的配音是“人在树上”，引申为“升高”的意思。“积”的配音是“垛”。^[7]因此“乘”的过程就是逐渐，其结果为“积”。这样就与“乘”字的数学意义“相加数求和”联系起来了，同时也与“乘风破浪”等一般意义相吻合。

按照《现代汉语词典》的解释，“除”字的一般意义有“去掉”或“减少”的意思，又可以引申为“分”的意思。^[8]如果把除法运算“逐步减少”凡与乘法的“逐渐升高”相对应为互逆关系，也就是数学中所说的“互逆运算”了。至于为什么要把“6÷2”读作“6除以2”，或“2除6”，而不能读作“6除2”，其实是古汉语中倒装的习惯。所谓“6除以2”，用现在习惯的读法应当是“以2除6”，“2除6”实际上是省略了“以”，也是“以2除6”，都是用2去分6的意思。类似的例子还有分数的读法，http://s1/middle/895fe056gca71cd9ef5e0&690 读作“三分之二”实际上是“分三之二”，“之”在古汉语中有“的“意思，所以“分三之二”就是“分为三份中的两份”，与分数的意义基本上是一致的。

类似的问题还有，除法的结果为什么叫做“商”？一般意义下这个字往往与“商量”、“经商”这些词语的意思联系在一起。我国古代有一种计时食品，叫做漏壶，也叫做漏刻，壶内有一浮标部件，上面刻有刻度，随水浮沉，称为漏箭。人们只需察看漏箭外表所显露的刻度，便可掌握壶内水位的高低，从而知道当下的时辰。我们古代字书《正字通·口部》对“商”有这样的解释：“商乃漏箭所刻之处”。 ^[9]由此看出，“商”在古代表示计时工具漏刻的刻度。刻度实际上就是确定标准，也就是指明“一”以便于测量“几”。所谓“商量”，其实就是先确实“商”，然后“量（音liáng）”》。小学数学中整数的“等分除法”实际上就是“已知几倍是多少，求一倍”。这样就沟通了“商”的一般意义与数学意义之间的联系了。

四、“小数”是很小的数吗？

“小数”并不是指很小的数。在十三经之一的《礼记·内则第十二》孔颖正义有这样的记载：“亿之数有大小二法，其小数以十为等，十万为亿，十亿为兆也，其大数以万为等，万至万，是万万为亿，又以亿而数至万亿曰兆。”^[10]大意是说，有大小两种方法得到“亿”和“兆”，一种是用小数十，那么十万就是亿，十亿就是兆。另一种是用大数万，那么万万就是亿，万亿就是兆。这里的“小数”和“大数”指的都是我们现在所说的进率。因此，“小数”实际上是“小率”，也就是“进率小于1”的数。在十进制的小数体系中，这个进率就是http://s1/middle/895fe056gca71d52afcf0&690

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五、“正比例”和“反比例”是比例吗

“正比例”和“反比例”分别用“正”和“反”来限定“比例”。那么正比例和反比例是不是比例？首先来看“比例”的含义，这个词汇并不是用“比”限定“例”。《说文解字·人部》对“例”字的解释为：“例，比也”， ^[11]这说明“比例”实际上是两个字义相同的字组合而成，隐喻的数学意义是“两个比相同”。所以“比例”这个数学术语指称的数学对象是两个比的相等关系，比如“1︰2＝2︰4”就是一个比例。这种比例在19世纪的欧洲叫做和“几何比例（Geometrical Proportion）”。当时，还有一种比例叫做“算术比例（Arithmetical Proportion）”^[12]，表达的是两个“差”相等的关系，比如“19－7＝127－115”就是一个算术比例。算术比例的一个重要性质就是，如果把符合算术比例的四个数按顺序写出来：19，7，127，115，那么首尾两个数的和与中间两个数的和相等，也就是19＋115＝7＋127。

这个性质与几何比例中“内项积等于外项积”的性质非常相似。正比例和指使与比例是不是属种关系？也就是说正比例和反比例是不是特殊的比例？数学教科书中把“正比例”定义为两个量的比值是固定不变的数，则称这两个量成正比例；如果两个量的乘积为固定不变的数，那么这两个量成反比例。从定义来看，正比例和反比例这两个数学术语所指称的数学对象是“两个量之间的关系”，而不是两个“比”之间的关系。因此应当说正比例和反比例都不是比例。“正”与“反”对比例的限定，使得比例这一数学术语的语义发生了变化。尽管如此，正比例、反比例和比例还是有着密切关系的。

古时算术中正比例和反比例的含义与现在不同。首先有“正比”和“反比”的概念，如果把“a︰b”视为正比，那么“b︰a”或者“1/a ︰1/b ”就是反比。这里反比中的“反”相对于“正”有两种含义：第一种是比的前项和后项交换位置，比如把正比“a ︰b”改为“b︰a”变为反比，这种反比对应的英文是“Inverse Ratio”；第二种是对比的前项和后项取倒数，顺序不变。比如把正比“a︰b”改为“1/a ︰1/b ”也成为反比，对应的英文是“Reciprocal Ratio”。一个非常有趣的性质是，如果对一个正比例分别按以上两种方式连续取反比，比值是不变的，用符号表示就是：a︰b ＝ 1/b︰1/a 。这样就可以延伸出当时正比例和反比例的概念。如果把“a︰b＝ c︰ d”叫做正比例，那么就把“ a︰b ＝ 1/d︰ 1/c”叫做反比例。英文中“反比例”有两种说法，一种是“Inverse Proportion”，另一种是“Reciprocal Proportion”。其中前者是比例的前项和后项交换位置的意思，后者是取倒数的意思。在晚清时期的一本《师范讲习社师范讲义》中还可以看到下面的例证。①^[13]

6︰3︰︰18︰9

此為正比例

6︰3︰︰ ︰

此為正比例

由此看出，正比例和反比例起初是一对相关的概念。之所以有正比例的用语，是因为存在与它比值相等的反比例存在，与现在的意义不一样了。

六、“函数”是数吗

“函数”一词，表面看是用“函”限定“数”，但其数学意义并不是指称数，也不是对数的限定。这一词汇是清代学者李善兰（1811-1882）在1559年翻译Augustus Demorgan所著的《代数学原理》（《The Elements of Algebra》一书时，首次使用的数学术语。原书中“Function”一词的解释为：“以任何方式包含 的表达式都是 的函数，所以 和 都是的函数，所以 和 都是 的函数。^[14]李善兰把“Function”翻译为“函数”，解释为“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数。”^[15]这一解释更接近李善兰翻译的另一本名为“代微积拾级”（Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus）的书中对“Function”的定义：“当一个变量等于一个包含另一个变量的表达式的时候，第一个变量就叫做第二个变量的函数。^[16]综上可以看出李善兰用“函数”这个词汇的用意，其中的“数”是“变数”，也就是现在所说的“变量”；而“函”是包含的意思。二者组合在一起叫做“函数”，表达的就是“变量包含变量”的关系，比如“ ”是一个变量，包含着变量“ ”，那么“ ”就是“ ”的函数。所以“函数”指称的不是数，而是变量之间的包含关系，与当时人们对“函数”的认识是吻合的。现在数学中对函数的理解事实上已经发生了变化，是集合与集合之间的“对应”关系，而不仅仅是变量之间的“包含”关系了。

按照通常的认识，数学属于科学，强调真理性和逻辑性，而语文属于人文学科，更强调“人”的因素。人文学科的知识一般具有规定性和可变性的特征。规定性体现的是人的主观意志占主导地位，一旦为多数人所认可，就成为约定俗成的知识了；可变性指的是随着人们对事物认识的不断变化，这种约定俗成的知识也会发生变化。比如前面论及的“几何”这一词汇，在如今的数学课程标准中就变成了“空间与图形”。现在所使用的“质数”,过去曾经是“数根”。莫绍揆先生曾经建议分数的读法应当改变，^[17]比如应当读作“五分之六”，这样更符合人自左至右、自上而下的阅读习惯，而且与除法算式的读法一致。

人是需要人来教育的。在数学教学中融入“语文”类的人文知识，把创造知识的前人大师的情感、思维等因素融入数学课程与教学，让学生通过语文理解数学，这或许将成为数学课程与教学发展的一个方向。

参考文献：

[1]松村勇夫：《关于代数和几何的字源》，《数学通报》1951年第1期。

[2]杰：《几何不是Geo的译音》，《数学通报》1959年第11期。

[3]司马迁：《史记·卷一百三十》（集解引如淳语），中华书局1999年版，第2508页。

[4]杜石然《<</SPAN>九章算术>中关于“方程”解法的成就》，《数学通报》1956年第12期。

[5]李继闵：《九章算术导读与译注》，陕西科学技术出版社1998年版，第624页。

[6]何金松：《汉字文化解读》，湖北人民出版社2004年版，第391、369页。

[7]郜舒竹：《“分公”的启示》，《人民教育》2009年第11期。

[8]中国社会科学院语言研究所：《现代汉语词典》，商务印书馆1978年版，第187页。

[9]邵启昌：中国数学若干概念汉语词义研究，《四川师范学院学报（自然科学版）》1998年第6期。

[10]郑玄注、孔颖达疏：《礼记正义》，北京大学出版社1999年版，第828页。

[11]许慎：《说文解字》，中华书局1963年版，第167页。

[12]Augustus De Morgan. Fourth Edition.  Printed  for  Taylor and Walton,London.1839.99。

[13]晚清文献数据库.

http://www.cnbksy. com/ShanghaiLibrary/pages/jsp/fm/index.jsp.

[14]Augustus De Morgan. Second Edition.Printed for Taylor and Walton,London.1837.168。

[15]燕学敏：《晚清数学翻译的特点——以李善兰、华蘅芳译书为例》，《内蒙古大学学报（自然科学版）》2006年第5期。

[16]Elias Loomis.   Nineteen Edition.Harper & Brothers Publishers,New York.1865.113。

[17]莫绍揆：《试论初等数学符号的改进》，《数学通报》2000年第12期。

郜舒竹，首都师范大学初等教育学院副院长，教授，首都师范大学初等教育研究所所长，主要研究数学教育与教师教育近五年主编或独立编著的主要著作有《数学的观念、思想和方法》《问题解决与数学思考》《整数问题》《实践取向小学教师教育教程——数学教学基础》《实践取向小学教师教育教程——数学教学案例》《小学数学解题论》。其中，《数学观念、思想和方法》2008年获得北京市第十届哲学社会科学优秀成果二等奖，《实践取向小学教师教育教程——数学教学基础》《问题解决与数学思考》2008年获北京市高等教育精品教材，《实践取向小学教师教育教程——数学教学案例》2010年教育部国培资源库首批推荐资源目录。近五年公开发表论文（独立或第一作者）及转载有20多篇次。2006年获“北京市高等教育中青年骨干教师”称号。主持项目“高师院校创建农村小学基地联合体的实践研究”2009年获北京市基础教育教学成果二等奖。参与项目（第三责任人）“直面我们基础教育实践，推进小学教师教育的改革与发展”2009年获北京市教学成果一等奖，国家教学成果二等奖。