让计算“慢”下来

首都师范大学初等教育学院 郜舒竹

一、计算错误并非算错

“看谁做得又对又快”是小学数学课堂中教师的常用语，通常出现在教师给学生布置计算任务时，学生听到这句话后，就会“紧张地”开始计算工作。在这种紧张的气氛和紧张的心情下，计算过程中的“思考”自然就减少了，无意识的错误自然而然地产生了。

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错例1                   错例2

图1

图1的两个错例来自不同的学校、不同学生的考试试卷，分别属于“两位数的乘法”和“除数是两位数的除法”类型的计算题。

第一题错在了第一部分积“22×8”的计算上，正确结果应当是176，而学生的计算结果是“136；第二题错在了“36×4”的计算上，结果应为144，学生错误的计算结果是“164”。

遇到此类“计算错误”时，教师通常会把错误原因归结为“粗心、马虎”或者“口诀不熟练”等等。通过对比这两个题目的计算过程和思考过程，发现事实并非如此，把两个问题正确和错误的计算过程列成表格进行对比。

从表格中看出，两个题目计算过程的第一步骤都是正确的。“22×8”的计算错在了第二个步骤中前面的环节，应当是“第一个因数的十位数字‘2’与第二个因数‘8’相乘等于16”，而不是“第一个因数的十位数字‘2’与数字‘6’相乘等于‘12’”。这里需要研究的是学生所使用的数字“6”是从哪里来的。“36×4”错在了第二个步骤中后面的环节，应当是“回忆步骤一中的进位‘2’并与12相加等于14”，学生却“加上了错误的进位‘4’”需要分析 这个用于进位的数字“4”又是怎么出现在学生头脑中的。

观察表格中的步骤一可以发现，这两个数字具有类似的来源，教师步骤一中“第一个因数的个位数字与第二个因数乘积的个位数字”。对于“22×8”，学生在步骤一的计算中会背诵乘法口诀“二八十六”，这句话最后的发音是乘积的个位数字“六”，这里学生就不自觉地把数字“6”用到下面的计算中了。对于“36×4”的计算有类似的现象，学生首先背诵口诀“四六二十四”，最后的发音是乘积的个位数字“四”，下一步进位时又是不自学地用上了。

以上分析可以得到这样一个结论，学生在计算多步骤的计算题时，如果后面步骤的计算需要利用前面计算的某些信息时，学生会出现无意识的错误选择，造成计算结果的错误。这种错误与通常所说的计算错误不同，并不是因为“计算”本身出现了错误，前面两上案例中单独看学生每一步的计算都是正确的。其错误根源在于选择的时候出现了“误选”。此类错误具有一定的普遍性，比如图2案例中，乘法口诀“四八三十二”最后的“二”被错误地当成下一步的进位数字了，与前面两个案例错误性质完全一致。

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                图2

二、“误选”究竟何原因

选择性错误产生的原因究竟是什么？首先应当承认，学生出现这样的错误是无意识的，就是说不是故意要犯错误。解释这种无意识行为可以利用心理学中关于“意向性”及其“背景”的相关理论。

所谓意向性（Intentionality）指的是人在感知的基础上，头脑对感知事物的属性或状态认识的一种能力，强调意识的“指向”，这种指向往往牌无意识的状态，会产生无意识的行为。前面案例反映出学生在计算过程中，都是出现了意识的指向错误。那么又是什么原因会产生这种指向错误呢？这就引出了与意向性直接相关的“背景”。

意向性的背景指的是人的“习惯、经验、知识、技能”等等^[1]。前面错例1中“二八一十六”最后的“六”以及错例2中“四六二十四”最后的“四”，都是影响下一步计算的背景。作为习惯、经验、知识、技能的背景越是熟练，就会导致“思考”的成分越少，由于思考成分的减少，就使得思维按照背景所形成的惯性发展为无意识行为。这一过程可以用图3直观地表现出来。

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图3

“又对又快”这一要求，虽然“对”的要求在先，但学生的潜意识其实还是追求“快”。追求“快”就会使得精神处于紧张的状态，这种紧张就会使得计算过程中思考的成分减少，惯性导致的无意识行为加剧。因此可以说，追求“快”并不一定是好事情。

三、思考需要“慢”

减少这种“惯性”的办法应当是让学生计算的速度慢下来，增加计算过程中的思维含量，让学生在计算过程中同时能够进行思考，进而把计算过程中的无意识行为变为有意识行为。这样不仅能够减少此类错误的发生。同时可以使得学生经历逻辑思维的训练。

按照逻辑学所说，人的思维有三种形式，既概念、判断和推理^[2]。推理就是从一个或几个已知判断得到新的判断所得结论的准确性和确定性^[3]，计算中的推理自然也应当具备这样的特征。下面以前面错例1中为例进行说明。

推理之初首先要明晰相关的概念。在“22×8”中，首先要知道什么是“22”以及什么是“×”，这样的思考有助于学生对基本概念的进一步理解。在明确了22是“2个10与2的和”以及“×”是“8个22相加”的意思后，就可以形成三个已知判断。

第一个判断是“8个22相加等于8个2的和加上8个20的和”，依据的是“乘法的意义”或“乘法对加法的分配律”。

第二个判断是“2个8的和等于6”，也就是乘法口诀“二八一十六”。

根据以上三个判断，就可以得到“22×8=176”，即推理出一个新的判断“22与8的乘积等于176”，也就是计算的结果，其依据是“160与16的和等于176”。以上推理过程在数学表达中经常写成下面的形式：

∵ 22＝20＋2（十进记数法的位值制）

∴ 22×8＝20×8＋2×8（乘法的意义或乘法对加法的分配律）

∵ 20×8＝160，2×8＝16（乘法口诀）

∴ 22×8

 ＝160＋16

 ＝176

数学的一个特征是严谨的逻辑性，数学学习的一个重要目的是提高儿童的逻辑思维水平，提高逻辑思维水平依赖于不断地经历“推理”的过程。如果把计算的过程理解为推理的过程，或许能够更加全面地实现计算教学的育人功能。思考的成分增加，必然就会占用更多的时间，因此在计算过程中应当给学生足够的时间去思考。

事实上，利用竖式进行计算，是方便计算的一种形式，这种形式能够使得计算的过程程序化，便于操作。当学生记住这位的操作程序，经过反复的训练，的确可以从某种程度上达到“又对又快”的目的。但如果过分追求形式化、程序化的训练，就会逐渐忽视计算中逻辑推理的成分。因此，应当提倡“计算的过程也是逻辑推理的过程”的观点，学生在计算的同时也应当经历逻辑推理的训练，把计算教学的研究重点定位于计算与思考的统一。这样对逐步提高儿童的思维水平应当会有所裨益。“快”不是外界的“催促”而能够实现的，随着学生个体学习过程中的逐步熟练，“快”是逐步水到渠成的。所以，应当让“又对又快”这样的语言在教科书和课堂中消失，让计算慢下来，还要让课堂成为“竞技场”。

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注释：

[1]吴彩强：《意向性和背景》，《自然辩证法通讯》2009年第1期，第22~26页

[2]郜舒竹：《问题解决与数学思考》，首都师范大学出版社2007年版。

[3] Mathematics News Letter,Vol.3, No6(Feb.,1929),PP.1—3.pubished by: Mathematical Association of America.

本文刊载在《小学数学》2012年第2期上。