一、极大似然估计方法

具体原理和思想，可以查阅相关参考书。这里介绍实际中的用法。

http://s6/middle/84024a4a4cdb68ccc5205&690

1.干扰为均值为0的正态白噪声

此时极大似然估计与最小二乘估计具有相同的估计值和统计特征。

http://s7/middle/84024a4a4cdb68cceca86&690

最小二乘法参考博文：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_84024a4a01016fvl.html

2.干扰为有色噪声

http://s13/middle/84024a4a4cdb68cd8639c&690

http://s15/middle/84024a4a4cdb68cd19d4e&690

http://s1/middle/84024a4a4cdb68ceaa1c0&690

http://s11/middle/84024a4a4cdb68cfc908a&690

http://s8/middle/84024a4a4cdb68d0a6d67&690

二、具体实例

例1：

http://s1/middle/84024a4a4cdb6295362e0&690

http://s10/middle/84024a4a4cdb6295bd539&690

这里介绍使用极大似然估计

（1）干扰为白噪声

与最小二乘法相同，参考博文：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_84024a4a01016fvl.html

中的例2。

（2）干扰为有色噪声

源代码：

%ch6_4_2b
%当噪声为有色噪声，利用最小二乘法进行估计

clear all;
clc
%产生一个有色噪声
L=500;  %仿真长度
c = [1 0.6];
nc = length(c) - 1;
xik=zeros(nc,1);  %白噪声初值
xi=randn(L,1);  %产生均值为0，方差为1的高斯白噪声序列

for k=1:L
    e(k)=c*[xi(k);xik];  %产生有色噪声
    %数据更新
    for i=nc:-1:2
        xik(i)=xik(i-1);
    end
    xik(1)=xi(k);
end

a = [1 -1.6 0.8]';
b = [1 0.4]';
d = 1;

na = length(a) - 1;
nb = length(b) - 1;
L = 500;

uk = zeros(d + nb,1);
yk = zeros(na,1);

x1 = 1; x2 = 1; x3 = 1; x4 = 0; S = 1;
% xi = randn(L,1);

theta = [a(2:na + 1);b];
for k = 1:L
    phi(k,:) = [-yk;uk(d:d+nb)]';
    y(k) = phi(k,:)*theta + e(k);
    IM = xor(S,x4);
    if IM == 0
        u(k) = -1;
    else
        u(k) = 1;
    end
    S = not(S);
    M = xor(x3,x4);
    x4 = x3; x3 = x2; x2 = x1; x1 = M;
    for i = d + nb:-1:2
        uk(i) = uk(i-1);
    end
    uk(1) = u(k);
    for i = na:-1:2
        yk(i) = yk(i-1);
    end
    yk(1) = y(k);
end

%建立psai矩阵
for i = 1:L
    for j = 1:L
        if (i == j)
            psai(i,j) = 1 + 0.6^2;
        elseif (abs(i - j) == 1)
            psai(i,j) = 0.6;
        else
            psai(i,j) = 0;
        end
    end
end

% thetae = inv(phi'*phi)*phi'*y'
thetae = inv(phi'*inv(psai)*phi)*phi'*inv(psai)*y'

运行结果：

thetae =

   -1.5968
    0.7917
    1.0442
    0.4723

结果分析：

比较链接中最小二乘法对有色噪声干扰信号的估计值

thetae =

-1.6870
0.8711
0.9502
0.2722

可知极大似然估计精度要高一些。这是因为在N趋于无穷时，极大似然估计具有渐近无偏性，渐近一致性，渐近正态性，和有效性。