定义 8

    设 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn3.gif 的线性变换, 对于 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn5.gif, 如果存在非零向量 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn6.gif, 使得

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn7.gif

则称 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn12.gif 的一个特征向量.

    例如, http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn21.gif 的特征向量.

定义 9

    设 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn23.gif 是个文字, 矩阵 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn24.gif 的行列式

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn25.gif

称为 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn28.gif 次首一多项式. 矩阵 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn30.gif 的特征根.

    线性变换的特征值与特征向量的求法步骤如下:

    (1) 在 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn34.gif;
    (2) 求出 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn37.gif 中的全部根, 它们就是 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn38.gif 的全部特征值, 设为 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn40.gif);
    (3) 对每个 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn42.gif) 代入齐次线性方程组

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn43.gif

求出基础解系, 以基础解系中每个解向量为坐标的向量 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn45.gif 的一组线性无关的特征向量, 由此可得出属于 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn46.gif 的全部特征向量.

例 7 设实线性空间 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn49.gif 下的矩阵为

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn50.gif

求 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn51.gif 的特征值与特征向量.

解 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn52.gif 的特征多项式为

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn53.gif

所以, http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn56.gif.

    把 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn57.gif 代入齐次线性方程组:

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn58.gif

得

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn59.gif

其基础解系为

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn60.gif

于是, 属于 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn61.gif 的两个线性无关的特征向量为

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn62.gif

而属于 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn65.gif 是不全为零的实数).

    再把 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn67.gif, 得基础解系

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn74.gif

所以, 属于特征值 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn75.gif 的一个线性无关特征向量为

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn76.gif

而属于 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn79.gif 为非零实数).

    设 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn80.gif. 规定

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn81.gif

称为 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn83.gif 的特征多项式, 我们有

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn84.gif

    在复数域中, http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn86.gif 个复数根, 设 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn88.gif, 则

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn89.gif

因此,

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn90.gif

定理 6

    相似的矩阵有相同的特征多项式.

    最后, 我们来介绍一个著名的结果:

哈密尔顿-凯莱定理

    设 http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn93.gif 的特征多项式, 则

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/zxxx/zsx05/zsx056/zsx05601/images/zsx056012_htm_eqn94.gif