中午吃过饭，在食堂里碰见了大师兄。别误会，我是三师弟。

    师兄：师弟，你来得比我晚，走得却比我早啊！

    师弟：师兄，这说明了什么？

    师兄：这说明你吃得比我快！

    师弟：师兄，你真棒！智商100分。

    后语：“来得晚，走得早”即所用时间少，又两个人吃的都是分量差不多的一盘米饭，由此得出我吃饭的速度快！

    如果用数学的眼光看，就是这样一个事实：有四个数字A，B，C，D，若A＜B＜C＜D，则C-B＜D-A。这是小学生都能理解的。

    到了初中，就可以换一种表述方式：在数轴上从左到右依次排列四个点A，B，C，D，显然有|BC|＜|AD|。

    到了高中，还可以换一种表述：对于区间[a，b]和[c，d]，若a＞c，b＜d，则[a，b]含于[c，d]。

（二）

 

    文印室里。

    我：王老师，麻烦把这个答案印一下。

    王老师：印多少份？

    我：12份。

    王老师：给你印15份。

    我：好！

    出了文印室，我就陷入了深深的思索之中。

    我思：王老师为什么要给我多印3份？

    我答：3份是备用，以防哪个老师的答案弄丢了。

    我思：如果答案丢了，该怎么办？

    我答：答案丢了之后，可以从3份中拿一份。

    我思：为什么要这样做？

    我答：这样做就可以保证每位老师总是人手一份答案。

    后语：多印答案只为了一个目的：保证每位老师人手一份。

    不妨用映射的眼光来看：设12位教师组成集合A，15份答案组成集合B，建立由集合A到集合B的一个映射。

    由映射的定义知，A中的任一元素在B中都有一个象与之对应，这不就是我们所追求的：答案人手一份吗？但B中的元素在A中却不一定能找到原象，这不就是我们所做的：宁可多印，以防万一吗？

    我被感动了：王老师在多年的文印室工作中，必定对映射的概念理解得十分之透彻，不然怎会运用得如此之出神入化？王老师已经做好了榜样，那我们这12位老师也要做好自己的事：每个人只能拿一份答案，可不许多拿哦！因为映射的定义中特别强调了：A中的元素在B中能且只能对应一个象。

    再用变化的眼光来看：将答案的份数设为n，如果n＜12，将会出现2个老师甚至是多个老师看一份答案的情况，这不是单射，是满射；如果n=12，正好一人一份答案，老师与答案之间一一对应，这既是单射又是满射，名作一一映射；如果n＞12，答案就会剩余，这是单射，但不是满射。

（三）

 

    情境对话A。

    儿子：爸爸，早餐钱还没给我呢！

    爸爸：儿子，爸爸身上只剩下2块钱了。

    儿子：之前一直不都是5块吗？

    情景对话B。

    儿子：爸爸，早餐钱还没给我呢！

    爸爸：给你5元钱，都要用来吃早餐，可不许乱花啊！

    儿子：知道了，爸爸。

    情景对话C。

    儿子：爸爸，早餐钱还没给我呢！

    爸爸：儿子，上次考试你考得真好，爸爸给你10元钱！

    儿子：哇，爸爸你真棒！

    后语：第一个爸爸只给了儿子2元钱，虽可以买早餐（必要），但是不够（不充分），将会导致儿子吃不饱；第二个爸爸给了儿子5元钱，刚好够（既充分又必要），儿子恰好可以吃饱；第三个爸爸给了10元钱，不仅够（充分），而且还多了（不必要），儿子吃饱后，将会剩余5元钱。

    数学里，若由P可以得到Q，则把P叫做Q的充分条件，Q叫做P的必要条件。

于是以上事实用数学的眼光看就是：

    2元钱不足以吃饱，则2元钱不是吃饱的充分条件；而若想吃饱，2元钱是必需的，则2元钱是吃饱的必要条件；综上，2元钱是吃饱的必要不充分条件。同理，5元钱既是吃饱的充分条件，又是吃饱的必要条件，简称为充分必要条件。10元钱则是吃饱的充分而不必要条件。

    反思：现实生活中，必要条件很多，而充分条件鲜矣！不信你看：拿着2元钱的儿子去吃了早餐，暂时不饿了；拿着10元钱的儿子去了网吧，到现在还饿着肚子呢！

（四）

 

    客厅里，老婆悠闲地嗑着瓜子，看着电视。老公却在满头大汗地拖地。

    老公：老婆，我能歇会儿吗？

    老婆：你有1米75吗？

    老公：没有，但我能歇会儿吗？

    老婆：你会做饭吗？

    老公：不会，可是我想歇会儿。

    老婆：你是“富二代”吗？

    老公：不是。

    老婆：那你是“官二代”吗？

    老公：也不是。

    老婆：你有车吗？

    老公：没有。

    老婆：那你能给我500万吗？

    老公：不能。

    老婆：既不是高富帅，也不是神马“官二代”、“富二代”，连个做饭都不会，你会做什么啊？

    老公：拖地。

    后语：好一个剽悍的“老婆”！在“老婆”的眼中，只有些“高富帅”、“官二代”和“富二代”，哪里还有眼前的穷酸“老公”！

    面对“勤劳老公”的一个小小要求，“老婆”却摆出了种种苛刻要求作为回绝的理由，这口气哪个男人可以忍受！

    “老婆”的要求是不是过于苛刻了呢？用数学的眼光看：就像一个方程组，如果要求的条件过多，很可能就会无解。“老婆”这种百般无理之要求不就是要陷“老公”于无解的绝境吗！

    再用数学的眼光来看：不妨将“老婆”提出的每个要求都记为集合，A={1米75以上的男人}，B={会做饭的男人}，C={富二代}，D={官二代}，E={有车的男人}，F={有500万的男人}，“老婆”心目中的男神大抵就是交集A∩B∩C∩D∩E∩F中的那些男人吧。但按照常识，对于互不相同的集合A1，A2，…，An，…，相交的集合越多，交集将会越小，如果“可恶老婆”继续提出各种无理要求的话，最后的交集就会是个空集！醒醒吧，还在做着美梦的女人们！

（五）

 

    晚上，不知怎地说起了励志电视剧。

    我：青春励志电视剧看过一些，但不经常看。

    段：我觉得看着挺好的，激励自己去奋斗。

    我：最好的励志剧，其实是自己曾经走过的路。

    段：看看励志故事，发现比你牛B的人还在不断努力，你还有什么理由不努力呢？

    我：这句话用运动的观点来说就是“初速度比你大的人加速度都比你大，你还有什么理由不提高自己的加速度呢”。

    后语：比自己牛B的人都比自己努力，自己还有什么理由不努力呢？先天条件比不上别人，再不努力，就永远被甩在身后了。

    将这个道理抽象为数学模型：两种人的先天条件可用两个函数的初始值代替，人生高度用函数值的大小表示，表征努力程度可用两个函数的一阶导数。于是，用数学的眼光来看就是：

（六）

 

    中午，和2位同事一起去吃饭的路上。

    同事A：今天食堂几楼有饭呢？

    同事B：1楼，2楼……，2楼还是3楼？

    同事A：只要不是1楼就行，2楼或3楼都可以。

    同事C：还有可能是回民食堂啊。

    同事A：哎，算了，不想了。到了就知道了。

    今天周六，按照惯例，学校只安排食堂的1个楼层供餐，那到底是哪个楼层呢？由三人的对话可知，共有4种可能：1楼餐厅，2楼餐厅，3楼餐厅，回民餐厅。

    如果用数学的眼光来看，就是一个分类讨论问题，讨论的情况有4种。同事A抛出问题后，同事B首先做了回答，但TA的回答不尽完美：①“2楼”说了两次，显得啰嗦；②由同事C的补充知，还漏掉了“回民餐厅”的情况。这提示我们在分类讨论时，一定要做到“不重不漏”！当然这由分类的标准所决定。

    对于自己提出的问题，同事A的态度是“不是1楼就行，2楼或3楼均可”，也就是说对于同事A，他会把“2楼”和“3楼”合并为1种情况。这表明标准的选择可能会因人而异，但应以简捷为好！

    最后，同事A的一句“算了，不想了。到了就知道了”结束了整个对话。这句话有2层含义：①同事A选择了最简捷的分类标准——没有标准。反正每个餐厅的饭菜都差不多，再好的饭菜吃多了也会腻，无所谓了；②我们这样的讨论是没有必要的。因为到食堂门口看下通知就“真相大白”了。这启示我们：讨论切莫盲目！有时适当地结合具体情况就可避开很多无用之讨论。

    “分类讨论”不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想。既然提到数学思想了，就说下中学里常见到的4种：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合。这里给出4种思想的一句话经典概括。

    函数与方程——神马都是函数，一切皆为浮云。世界在变化，有变化的地方就有函数。函数图象上的一个点就是一个方程，按照笛卡尔的设想，一切问题最终都归结为方程问题，会解方程，一切就皆为浮云了。

    转化与化归——乾坤大挪移。把未知化为已知，把陌生化为熟悉，把复杂化为简单……转化无处不在！转无影，化无踪！这和绝世武功“乾坤大挪移”之精髓不正好相通吗——颠倒一刚一柔、一阴一阳的乾坤二气，随意而行。

    分类讨论——这是神马情况。讨论就意味着会有多种情况，情况一多就有弄不清的可能。于是众童鞋常常疑问：这是神马情况？

    数形结合——有图有真相。网络日益发达的今天，图片成为了非常流行的表达方式，数学却早已超前！当代著名数学家华罗庚先生就曾说过：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。“数”指代数的逻辑演绎，这就是真相；“形”多指函数图象，这就是图形。华先生不就是在强调做数学最好要“有图有真相”吗？这样说服力才更强。

（七）

 

    办公室外的地板是斜着铺的。

    当我意识到这一点时，禁不住心里一颤。

    我问：地板不是长方形吗？

    我答：是啊！没错。

    我问：可……可我现在看到的明明是平行四边形……。

    我答：咦，这是怎么回事？

 

    后语：地板可近似看作长方形，这是不争的事实。但我们眼中的地板又确信无疑的是平行四边形，难道是眼睛欺骗了我们？

    非也！北宋苏大学士有诗云：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。这是看山的道理：横着看是一道道岭，侧着看又成一座座峰。同一个事物，从不同的角度欣赏，就会得到不同效果，人的感受自然也不一样。

    其他事物也是同样的道理。不信？随手拿起一本书，试着变换书在眼前的摆放位置，看看书在你的眼中成了什么样？图1，图2，图3，样样都有！

 

    于是，为了展现立体图形的立体赶脚，在数学上，常常把水平的长方形画成一个平行四边形，因这和我们眼睛里的世界是相符的。

想更深入的了解，就必须提及斜二测画法。但现在还是就此打住。

杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001)