组合数学学习收获与感悟

程汉波 

（华中师范大学  数学与统计学学院，湖北 武汉  430079）

组合数学的印象

组合数学对于我们并不陌生，在高中是我们解初步接触了排列组合和数列知识解决生活中计数问题的方法。但是，许多问题都因为苦难戛然而止，比如“错排列计数问题”、“复杂数列递推关系的求解问题”、“斐波那契数列问题”……在学习中经常遇到但是我们对于他们是束手无策，高中老师也告诉我们这个问题太麻烦不会考而逃避，但是这些无法抑制住我们的求知欲。因而学校今天开的组合数学课深深的吸引了我们，在组合数学的学习中它独特的魅力确实让我们一度激动，中学里太多复杂的问题在这里得到了解决，内心真的一度有成就感。譬如：可重排列可重组合圆排列和多重排列与组合等排列组合计数理论的完善，容斥原理在解决复杂计数问题的优势，递推关系的求解策略更具有一般性和针对性，生成函数与数学分析中级数理论的完美结合使大家感悟到数学系统的魅力，整数分拆对于球盒模型的完全解决的优美，鸽笼原理对于存在性问题的处理使问题柳暗花明……。这些收获对于喜爱数学的我真的有很大的成就感。

组合数学的收获

     对于计数问题的处理方式和技巧有很多收获，在这个列举一下每章的感受。

     ①排列与组合：排列与组合是组合数学所研究的最简单、最基本的课题。对于这类叫有思考性的问题的解决往往需要较强的“组合思维”、巧妙的“组合方法”和熟练的“组合技巧”，因此，这些知识极具挑战性和数学魅力。

     ②容斥原理及其应用：容斥原理的应用是多方面的，历史上著名的“错排问题”和“夫妻问题”在此得到了很好的解决，而且与数论相联系的计数问题轻易且易理解的解决了，在其他方面的应用值得我们去思考的地方。

     ③递推关系：中学时代的等差（比）数列的局限使得高考数列压轴题我们往往束手无策，但是在这里对于递推关系的解法归类和技巧使得我们对于这类问题不在那样畏惧，而且敢于善于运用它去解决个方面的问题。常系数线性齐次递推关系的解法和两类常系数非齐次递推关系的解法使得中学的压轴题回看起来有法可循，来自胡僧或中斐波那契数列的解决和阶梯问题 的转化值得我们思考，生活中有太多例子与数列结合其起来，我们应该思考并建立数学模型将之解决，这就是一种很大的进步。

     ④生成函数：组合数学在我们的印象中感觉就是一门初等数学的学科，但是对于组合数学这样的评价确实不客观也不正确，数学分析中级数技术和理论在生成函数理论及其应用方面充分展示了深度和广泛度，而且当今组合数学在计算机、规划论、运筹学等领域的应用展示了组合数学独到的魅力所在，车问题充满兴趣而且和中国象棋紧密联系，对于我们用数学思想认识世界有很大的提升锻炼作用。

     ⑤整数分拆：在我感觉，有一个问题始终伴随着组合数学的学习，这个问题的掌握可以检验出一个学生组合数学的功底，即：把N个球放入M个盒子中，这里无疑会出现八种情形：球相同与不同，盒相同与不同，盒空与不空。但是，对于相同的球和相同的盒子时我们感觉思考很吃力，这时，整数的分拆感觉是雪中送炭般的一股清晰空气涌入心田，使我们感觉很舒服很有收获成就感。

     ⑥鸽笼原理和Ramsey定理：对于数学中的存在性问题我们擅长于利用反证法或者具体的将它找出来，但是反证时时矛盾的难于发现或者具体找出时技巧性太强使得面对具体问题有太大的局限，鸽笼原理对于存在性问题的处理使问题柳暗花明，使得我们不需反证的繁琐以及具体找出的思维难度而对于问题有更深刻的认识，是一个简单但是绝不“简单”的定理，因为它广泛的用途而绚丽多彩。

组合数学与未来

    免费师范生的我们大都期望未来成为一名学生心目中的优秀老师，而这些需要外面现在的资本积累，而组合数学又是一门与中学教学密切联系的问题，能否满足部分学生的探知欲望在很大程度上取决于现在我们对于知识的认识和思考。

因此，组合数学绝不仅仅是一门专业选修课，我们觉得这对于师范生是一门专业必修课，因为里面蕴含的思想值得我们去锻炼去探究，这对于未来优秀教师的培养是必须的过程，因为好老师需要深厚的专业知识吸引住学生的目光和得到他们的内心佩服。总之，组合数学的学习对于我的收获是很大的。

组合数学的思考

组合数学是一门思考才有收获和体验的学科，但是局限于课时数的原因许多好的环节和方法感觉难以展开，所以在学习中难免感觉速度有些快，甚至有时一些问题的证明都是一带而过，所以感觉对于很多问题的认识是不全面的或者说是基于短时记忆的，这个作为数学专业来说感觉值得我们反思。对于一些问题要从内心掌握而不是基于短时记忆，对于一些问题要掌握知识的过程而不是结果值得我们思考。