椭圆及其标准方程教学设计

西安高新唐南中学                           龚丽君 

一、教学目标

1．知识目标：掌握椭圆的定义，能正确推导椭圆的标准方程．

2．能力目标：通过引导学生亲自动手尝试画椭圆，让学生发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义 , 培养学生的动手能力、合作学习能力以及运用所学知识解决实际问题的能力．

3．情感目标

（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.

（2）通过椭圆标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.

（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.

二、重点、难点

重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想．

难点：椭圆标准方程的推导与化简．

三．教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．

四．教具准备：多媒体课件和自制教具：呼啦圈，绘图板、图钉、细绳．

五、教学过程

（一）创设情境，认识椭圆．

材料

1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.

材料2：“嫦娥一号”模拟轨道图．

2007年10月24日，我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”发射成功 , 开始了举世瞩目的太空之旅，流传了几千年的飞天神话，变成了现实 ，这标志着我国航天事业又上了一个新台阶，这是中国人的骄傲．请问： “嫦娥一号” 绕地球飞行的运行轨道是什么？（课件演示轨道图）

引入课题：椭圆及其标准方程．

（设计意图：利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆：通过“嫦娥一号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想.）

（二）动手实验，亲身体会．

1．教师演示，引出研究思路．

教师将一圆形的呼啦圈朝一方向用力压或拉，变成一椭圆形状的呼啦圈，以说明圆和椭圆的密切关系，点明可以像学习圆一样来学习椭圆．

思考：在上一章圆的学习中我们知道：平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？

（设计意图：对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆．）

2．学生分组试验．

(1)取一条细绳；

(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点、 ；

(3)用铅笔尖（）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？

（教师巡视指导，展示学生成果）

3.分析实验，得出规律．

(1)在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？

(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？

(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？

(4)改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么？

学生总结规律： 轨迹为椭圆；

                轨迹为线段；

  轨迹不存在．

（设计意图：在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．）

（三）总结归纳，形成概念．

定义：平面内，到两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．

（在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“常数”及“常数”的范围等关键词与相应的特征.）

问：椭圆定义还可以用集合语言如何表示？.

（设计意图：通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.）

（四）合理建系，推导方程．

1.复习求曲线的方程的基本步骤：建系； 设点； 列式； 化简；

（5）证明（可省略）（由学生回答，不正确的教师给予纠正．）

2.如何选取坐标系？

【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：

方案一：把F₁、F₂建在x轴上，以F₁F₂的中点为原点；

方案二：把F₁、F₂建在x轴上，以F₁为原点；

方案三：把F₁、F₂建在x轴上，以F₁F₂与x轴的左交点为原点；

方案四：把F₁、F₂建在y轴上，以F₁F₂的中点为原点；

教师折椭圆，学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？学生讨论，经过比较确定方案一.

（设计意图：积极鼓励学生用不同建系方法，让他们充分暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法．）

3．推导标准方程．

选取建系方案,让学生动手，尝试推导.

按方案一：以过、的直线为轴，线段的垂直平分或线为轴，建立平面直角坐标系．设 ，点为椭圆上任意一点，

则 （称此式为几何条件），

∴ 得（实现集合条件代数化），

（想一想：下面怎样化简？）

（１）教师为突破难点，进行引导设问：

我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得  ．

（2）的引入．

由椭圆的定义可知，,　∴．

让点运动到轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得，的几何意义，进而自然引进，此时设，于是得， 两边同时除以，得到方程：（称为椭圆的标准方程）．

（3）建立焦点在轴上的椭圆的标准方程．

要建立焦点在轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何做？

方法1：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母， 交换了位置），直接得到方程．

方法2：（视情况决定讲与否(预设)）借助于化归思想，抓住图1（前面方程推导时用过）与图3的联系(关于直线 对称)即可化未知为已知，将已知的焦点在轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在轴上的椭圆的标准方程．只需将图1沿直线翻折即可转化成图3；

                                                        

图1                        图3

 　(4)教师应用多媒体，把其它建系得出的方程展示给学生，相比之下，其它的建系方式得到的方程不够简洁.

（设计意图：椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试，教师协从指导．再展示学生结果；教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在y轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算．）

4．归纳概括，掌握特征．

（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；

（2）椭圆标准方程中三个参数 ,  , 的关系：；

（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.

（五）尝试应用，范例教学．

例1  下列哪些是椭圆的方程，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？并指明、，写出焦点坐标．

 

 

 

 

注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然．

（设计意图：进一步巩固对椭圆标准方程形式的掌握.）

例2写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10.

变式一：将上题焦点改为、，结果如何？

变式二：将上题改为两个焦点的距离为8 ，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10 ，结果如何？（学生直接抢答）

例3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

两个焦点的坐标分别是、，并且经过点P ．

（先和学生一起简单分析条件中蕴涵的信息，再由学生自己动手完成．教师巡视，投影学生答案．学生讨论总结．）

解题思路1：先根据已知条件设出焦点在轴上的椭圆方程的标准方程，再将椭圆上点的坐标代入此方程，并结合、、间的关系求出、的值，从而得到椭圆的标准方程为．

(设计意图：学会用待定系数法球椭圆的标准方程.)

 

解题思路2：利用椭圆定义（椭圆上的点到两个焦点、的距离之和为常数2 ）求出值，再结合已知条件和、、间的关系求出的值，进而写出标准方程．

（设计意图：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用.）

（六）回顾反思，归纳提炼.

1.椭圆定义；

2.椭圆标准方程；

3.解题思想方法．

（八）板书设计：

§8.1椭圆及其标准方程 一．椭圆的定义                        三.例题 　　　　　　    四.小结 二．椭圆的标准方程                    五.作业 焦点在轴上： 焦点在轴上；