正余弦函数的定义教学设计

西安高新唐南中学                           龚丽君 

一、           教学目标：

1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义；

2.从任意角的三角函数的定义认识和理解与三角函数有关的知识。

二、           教材分析：

正、余弦函数的定义是三角函数这一章里最重要的一节课，它是三角函数全章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

三、           学情分析：

   在本节课的教学中，通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图像，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力。

四、           教学重点：正弦余弦函数的定义.

五、    教学难点：正余弦函数定义的生成过程

六、           教学过程设计：

第一部分——情景引入

问题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为 ，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发（如图1所示），过了30秒后，你离地面的高度 为多少？过了120秒呢？过了 秒呢？

【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。

 而对于已经学过三角函数，且基础比较好的同学来说，非常容易得到 ，

问题2：对于 我们在初中学过函数值为 ， 如何计算呢？你是如何算出这个数值的？

【设计意图】：通过一次次的发问，引导学生思考三角函数的本质，引出本节课的课题《正、余弦函数的定义》

第二部分——引入新课

1.      回忆我们在初中学习过的三角函数的定义：

【设计意图】：解释锐角三角函数值的本质：线段长度之比，且值的大小与三角形的大小无关。此时三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌。

2.      探究任意角的三角函数的定义

通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样。

问题3：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？

【学生自主探究】：学生通过上面已知知识得到

学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天轮座舱在第150秒时，离地面的高度 ？

通过摩天轮知道：

【设计意图】：通过这个，让学生检验 在第二象限角是否正确？

问题4： 在第三象限角或第四象限能成立吗？

【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差。

（可以让学生取 ，从而 得到 ＝ ，发现这与 不相符，实际上是 ）

【教师总结】：我们通过个模型知道如何在某些范围内如何计算自已此时离地面的高度，用数学模型 来表示，当摩天轮转动，角度的概念也不知不觉地推广到任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我更应该用点P的纵坐标来代替 或 ，那么这样就能够很好表示出正弦的函数任意角的定义。

第三部分——给出任意角的正余弦函数的定义

如图3,已知点 为角 终边上的点，点 到顶点 的距离为R，则

 （ ）      （ ）

问题5：如果让摩天轮的半径为1，那么三角函数的定义会发生怎样的变化？

单位圆中的三角函数的定义：

问题6：把圆的半径特殊化得到的三角函数看着有什么好处？

学生发言交流，结论：结构简单便于研究三角函数值的变化，能够将代数和几何内容有机结合，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算。

备课小资料：介绍数学家欧拉对三角函数研究的贡献

1748年，尤拉发表著名的《无穷小分析引论》一书，指出：”三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP、OM、MP(即函数线)相互之间所取的比值(如图八)，sinα＝MP/OP，cosα＝OM/OP，tanα＝ MP/OM等。若令半径为单位长，那麼所有的六个三角函数又可大为简化。

第四部分——反馈练习：

（1）已知角 终边在直线 上，求

（2）已知  终边过点 ，求 的值．

第五部分——回顾、总结与思考：

三角函数中有很多细节知识，例如：三角函数的性质，诱导公式等，那么大家想想哪些结论的得出要用到三角函数的定义？

小组合作与探究，共同总结出如下几个方面的应用：

（1）  三角函数的定义域，值域

（2）  三角函数在各象限的符号

（3）  特殊角的三角函数值

（4）  同角的三角函数的关系

（5）  正余弦函数的单调性

第六部分——问题的提升：

（6）  扩展训练：极坐标系中点的极坐标、复数的三角形式

    第七部分——教师总结、点评

七、作业布置：

查找资料，探寻三角函数的起源及中国古代在三角函数方面的贡献

八、板书设计：

九、教学反思：

     学生从对初中的三角函数定义根深蒂固，对课本上用点的坐标来定义三角函数感觉非常突兀，不明白为什么要这样来定义三角函数。本着数学来源于生活，高于生活的原则，在本节课的教学引入中，我借用了必修四最后一页的课题学习《摩天轮中的数学问题》的例子，有效的激发了学生的学习兴趣，较好的体会用坐标定义三角函数的必然性。对后面习题的处理就水到渠成。本节学生上课思考发言很积极。不足之处在后面只讲了解题思路，没有让学生练习运算。