对林氏博文最后完整结论的八质疑

对林氏的“概率数理”博文的质疑，已进行了两个多月七轮的争论，我的观点早已摆得非常明确，指出林氏对概率论的基本概念、基本理论不清，错误地、乱用滥用定理、公式，特别自创了错误公式：P_乘＝1-e^-P加，并到处贴标签，肆意加以解释，混淆视听。对于错误不但不悬崖勒马，却固执己见；在《对前二篇博文的再一次重要修正（最后完整结论）》中，又采取了折衷方式，企图调和正确与错误，他说：“概括而言，P_乘和P_加都是同一随机事件（系统）在其产生和发展过程中不得不体现（客观存在）的二种表达方式。”“因为传统概率理论主张的P_乘与本人主张的P_加，二者可以统于上述一个数学公式中，表明无论是计算出的P_乘值还是计算出的P_加值，二者都是正确取值，只不过各自从不同角度去理解和计算而己。”本文将指出：第一，对于林氏所讨论的概率计算问题，正确答案只有一个，那就是所谓用P_乘计算出来的值，也就是当今概率书中的计算值，而林氏所说的用P_加计算的概率值是错误的，二者不相等，同时也不能认为是对问题的“不同角度去理解和计算”两种结果都是正确的；第二，林氏自创的公式： P_乘＝1-e^-P加是错误的，同时到处乱用也是不科学的。

一、对林氏文中引例的质疑：

林氏本篇博文开始有引例：“比如：百年著名的‘生日问题’：23人中，至少有二人生日相同的概率有多少？

如果用当今概率教材主张的乘法计算，其概率是：

 P_乘＝1-[（1-1/366）×（1-2/366）×（1-3/366）×……×（1-22/366）]＝0.506（50.6%）（一年为366天）

如果用本人主张的加法计算，其概率是：

  P_加＝C²₂₃ /366=(23×22)/(2×366)=0.6913(69.13%)”。

在这里林氏所计算出的P_加值是错误的。我曾在第三篇质疑文章中分析过，现摘录如下：

“林氏说：‘因人与人之间可结成配对关系，所以有：C²₂₃＝（23×22）/（2×1）＝253，P_加＝253/366＝0.691（69.1%），答案是：69.1%’。

这里犯了风马牛不相及的错误。按着概率论古典概型概率的定义，一个概型首先要列出它的样本空间 Ω={ e₁,e_2,……,e_n}，其中e₁,e_2,……,e_n为基本事件，事件为A，B,……，每个事件应为基本事件的集合，然后再考虑事件A所包含的基本事件个数m，与样本空间所包含基本事件数量n的比值，此即为事件A的概率，即P(A)=m/n .

对于林氏在这里提出的概型，好像样本空间Ω是所有全年的每一天，即样本空间包含了366个基本事件。但‘人与人之间可结成配对关系’这一事件，并未包含Ω中任何基本事件，却是23个人任取2个人的组合，这一事件与该概型是风马牛不相及的，遑论将它们的比值作为‘23人中至少有二人生日相同’事件的概率，这不太荒唐吗？

如果按着林氏的思路（是错误的），计算‘28人中至少有二人生日相同’这一事件E的概率，就应该是：P(E)=C²₂₈/366=378/366=1.033＞1，显然是错误的。实际上，事件E的概率为P(E)=1－366！/（338！·366²⁸）=1－0.3466=0.6534=65.34%，而非大于100% .”

 另外，如果这23人取自妇婴医院同一天的出生登记，任取2人的配对显然都是同日所生；如果这23人取自妇婴医院不同天的出生登记，任取2人的配对并不能保证是同日所生。那么，用C²₂₃去除366怎么会是“23人中，至少有二人生日相同的概率”呢？林氏计算的P_加如此荒谬，怎么会与 P_乘＝0.506相提并论而说成都是正确的呢？林氏为了狡辩创造出许多标新立异的说法，什么“排列组合序列结构”与“各自独立非结构”，什么“内概率”与“外概率”，什么“组概率”与“个概率”，什么“线性与非线性”、“平与偏”、“动与静”、“有序与无序”、“矛盾共存”等等，完全脱离了对概率理论的讨论，满是无边无际与概率理论毫无关系、毫无意义的词语，竟以此作为“虎皮”来吓唬人了。

林氏在该文中自编了一个例子：“连续掷二枚均匀的三面骰子二次，至少出现一对3的概率是多少？”在我的《对林氏〈上篇博文的说明〉七质疑》博文中已进行了质疑，这里不再赘述。

二、对林氏自创公式： P_乘＝1-e^-P加的质疑：

下面一步步分析林氏公式产生的过程：首先，对于事件来说有德·摩根律，即对于事件A_1，A_2，……，A_n 有（A₁∪A₂∪……∪A_n)^c＝A₁^c A₂^c ……A_n^c （其中C表示事件的对立），这一点林氏是承认的。然后，P(A₁∪A₂∪……∪A_n)＝1－P(A₁^c A₂^c ……A_n^c) （这是因为对于任意事件A，有P(A)＝1－P(A^c)或P(A)＋ P(A^c)＝1），这一点林氏也是承认的，承认这一点也就是承认概率的公理，特别是0≤P(A)≤1。其次，林氏将1－P(A₁^c A₂^c ……A_n^c)命名为 P_乘，即 P_乘＝1－P(A₁^c A₂^c ……A_n^c)，并承认用此公式计算的概率值是正确的。以上我们并不存在分歧。

对于P_乘的具体化，在林氏来说是P_乘＝1-（1-1/n)^k，在这里我特别指出，并不是所有问题的P_乘＝1－P(A₁^c A₂^c ……A_n^c)都可用此式表示，这要视问题提法、A_1，A_2，……，A_n 是否相互独立、是否等可能等等条件来决定，所以林氏提出的 P_乘＝1-（1-1/n）^k并不是一个通式，这是我们的分歧之一。

林氏对P_乘＝1-（1-1/n）^k进行了演绎，导出P_乘＝1-（1-1/n）^k ≈1-e^-k/n    （当n充分大时），他利用了重要的极限 lim(1＋1/n)ⁿ＝e （n→∞）,这一点是可以的。但他只是得出P_乘的一个渐近式，不是一个等式，只能写成P_乘≈1-e^-k/n ，而不能写成P_乘＝1-e^-k/n.至于计算P_乘＝1-（1-1/n）^k ，由于现在计算器功能比较齐全，很容易算出，完全不必用渐近式P_乘≈1-e^-k/n来间接计算，并且用渐近式也得用计算器，反而更麻烦，还会产生渐近误差，这不是出力不讨好吗！这是我们的分歧之二。

这里值得再一次重申的分歧之三是，渐近式里的指数k/n绝不是什么 P_加，把k/n等同于 P_加是极大的错误，是林氏谬误的根本所在。 P_加的正确表达式应该是

  P(A₁∪A₂∪……∪A_n)＝P(A₁)+P(A₂)＋……＋P(A_n)－P(A₁A₂)－P(A₁A₃)－……－P( A_n-1A_n )＋P(A₁A₂ A₃)＋……＋P(A_n-2A_n-1A_n)－……＋(-1)^n-1P(A₁A₂……A_n)（n≥2）.

而不是 P_加=P(A₁∪A₂∪……∪A_n)＝P(A₁)+P(A₂)＋……＋P(A_n)，更不是 P_加＝k/n .

分歧之四是： P_乘＝1-e^-P加，是林氏对概率古典概型中一些比较简单的掷硬币、掷骰子、生日等问题解算时得出的，它本来是错误的，它不具有普适性，不能随意推广到其它概型，比如贝努利概型、泊松概型、指数分布、正态分布、威布尔分布等，更不能滥用于其它科学、哲学等领域。

林氏推出错误式 P_乘＝1-e^-P加 的后果是，造成许多荒谬的事儿出现。其一，林氏自己在用k/n来计算P_加时，出现事件的概率大于1的笑话，如计算“28人中至少有生日相同的概率”，P_加＝C²₂₈/366=378/366=1.033＞1；还有诸如P_加＝3/2，“50人中到底有多少人生日相同，这时就可用公式P_乘＝1-e^-P加 计算得到P_加为3.347”等等,这是不可原谅的错误。

 其二、从错误公式P_乘＝1-e^-P加 中，两端取对数解出　P_加= － ln(1－P_乘)，来看P_乘与 P_加的定义域与值域，P_乘的定义域：当0≤P_乘≤1－e^-1=0.6322时，此时可保证0≤P_加≤1；当P_乘＞1－e^-1，P_加＞1.如当P_乘取0.7时，P_加=1.2040，与概率公理矛盾；而P_乘越接近1，P_加就会越大，甚至可趋于无穷大，也就是P_加的值域为0≤P_加＜∞，这岂不是笑话（见下面P_加与P_乘关系曲线）。

http://s1/small/7f463f4bgcf0bacada620&690

P_加与P_乘关系曲线

 容忍事件概率大于1这一点，也就否定了前面林氏自己曾经承认的概率公理，特别是0≤P(A)≤1 。但他认为这不是自己主观的错误，而是客观的错误，是客观世界没按他的主观想法运行，为此他要修改概率论，认为概率可以大于1 。既如此不知林氏能否举出现实世界中哪个事件发生的概率大于1，比必然事件还要必然。我曾经质疑他难道你掷100次单个硬币，能出现150次正面吗？

其三、林氏将错误公式到处乱用，居然能提出“①  P_乘＝1-e^-P加 [是乘法定理（原则）与加法定理（原则）的统一]②P_外＝1-e-P_内  [是外概率（组与组之间）与内概率（人与人之间）的统一]③ P_概＝1-e-P_统 [是概率（P_乘无限趋近1的可能值）与统计（P_加真实发生值）的统一]④ P_偏＝1-e-P_平（是非线性偏离与线性平衡的统一）⑤ P_动＝1-e-P_静（是P_乘概率势差引发的“动态”与P_加概率物能守恒引发的“静态”之间的统一）⑥ P_阳＝1-e-P_阴（是中国阴阳哲理、数理的统一）⑦ P_矛＝1-e-P_盾总之，是事物矛盾双方的辩证对立与统一）”等等。他将错误公式滥用到极致，包括了许多矛盾的两方面，甚至成了万能公式，这就太无理、太过分了。说过分也还不过分，起码它还没有进入医学呼吸系统，出现P_呼＝1-e-P_吸；也没有进入军事科学，出现P_攻＝1-e-P_守，P_进＝1-e-P_退；更庆幸还没有进入心理、生理领域，出现P_爱＝1-e-P_恨，P_忠＝1-e-P_奸，P_饱＝1-e-P_饿，如果是那样可真叫人昏头胀脑、应接不暇了。

 

附录：

对前二篇博文的再一次重要修正（最后完整结论）

——“生日问题”百年难题应同时取P乘和P加二个答案

（本修正结论于11月21日完成）

 

我在前二篇博文中所举实例：生日问题、硬币或骰子问题、射击问题、疾病检查问题等，在求它们的概率时，既可用乘法（P乘）计算、同时也可用加法（P加）计算。这是因为P乘和P加是同一随机事件（系统）相互矛盾作用下辩证统一(对立统一)中不同的二个方面。

比如：百年著名的“生日问题”：23人中，至少有二人生日相同的概率有多少？

如果用当今概率教材主张的乘法计算，其概率是：

P乘＝1-[（1-1/366）×（1-2/366）×（1-3/366）×……×（1-22/366）]＝0.506（50.6%）（一年为366天）

如果用本人主张的加法计算，其概率是：

P加＝C²₂₃/366=(23×22)/(2×366)=0.6913(69.13%)

当今教材主张P乘＝0.506这一结论的数学意义是：每23人为一组，在n组中，其中能产生多少组有生日相同的“组概率（组与组之间有无生日同的概率）”应为0.506,也就是猜任意一“人组”，猜中各“人组”有人生日相同的概率或没有人生日相同的概率（猜中的成功率）为0.506（而不去顾及这一组到底有多少人生日相同）；

而本人主张P加＝0.6913这一结论的数学意义是：在每23人之中（23人之内），相互之间具体有多少个人生日相同的“个概率”（本组内个人与个人之间有无生日同的概率），也就是这一组到底有多少人生日相同（统计平均而言）。

所以，P乘可理解为：本组以及其他各组之间有生日同的“外概率”；P加可理解为：本组内人与人之间有生日同的“内概率”，二者是“外”与“内”的统一。

可见，P乘是从组与组——“排列组合序列结构”的视角考察得出“事件发生的可能性”方面的概率值——是一个组与组之间有人生日同的概率值，是一个无限趋向1的“可能值”；

而P加是从人与人——“各自独立非结构”视角考察得出“具体发生”的概率值——是一个可以统计各组内人与人之间有生日同的具体的概率值和人数值。

所以，无论P乘值还是P加值二者答案都是正确的，这只是取决于我们的观察角度和计算手段不同，才产生了二个不同的概率值。

概括而言，P乘和P加都是同一随机事件（系统）在其产生和发展过程中不得不体现（客观存在）的二种表达方式。

然而，在人们一般的理解上，还是着重关心23人或50人或n个人中,到底有多少人生日相同?其概率是多少?如果只是顾及这一方面的话,无疑是采用本人主张的P加方式得出的答案更富有现实意义（即：具有具体的统计值和概率值）。比如：要计算一个县、一个省、一个国家（乃至全世界的70亿人）中有生日相同的概率是多少，以及到底有多少人生日相同，这时只能用P加计算，不能用P乘计算（P乘不能计算出到底有多少人生日相同），因为传统P乘答案只回答“有”或“无”的概率（猜中各组有无生日同的成功率）是多少？事实上，普通大众在一般认识上也确实是从P加（在一组人中有多少人生日相同，其概率是多少？）角度来理解的，并未真正去关心猜中各组有没有人生日同的概率。当今，绝大多数读者都是把P乘＝0.506当成了23人中“人与人”之间生日同的概率，而事实上，0.506应是组概率，23人中“人与人”之间有生日同的概率是P加＝0.6913（这一结论已有我的“生日问题”精确模拟实验所证实）。而很多科普类读本得出的“只有当人数达到367人（按一年366天计算）时，才能保证有二人生日同的概率达到1（100%）”的结论，这也是从独立（P加）角度计算的结果。因为按P乘计算，其值域是一个无限趋向1的概率值，当人数达到367人时，其概率P乘并未真正达到1；同样，对于生日问题，为什么至今仍得不到真正解释的“为什么生日相同的概率会那么高？”之困惑，也可从P加角度得到完满的解释，却难以从P乘方面得到解释。这足以证明本人首次主张的生日问题（以及其他问题）采用P加计算以及计算出客观存在的概率统计值P>1之结论的客观性、正确性和必要性。

由此可见，只有在如下前提条件下可同时采用P乘和P加计算，即：

将某一团体的所有人数分割成无数组（比如：将23000人分成1000组，每组23人）后，再来计算每组23人中有生日相同的概率，这时才可从P乘和P加二个不同角度进行概率计算（必须在现有人数中再进行分组，如果不能再分组的话，P乘计算则无意义）。

这时候，P乘＝0.506值表示你猜这1000组各“23人组”中，组与组之间有生日同的概率（猜中的成功率）为0.506——也就是几近506组有人生日同，另外494组没有人生日同。

而P加＝0.6913值表示在这23000人中，每23人之内人与人相互之间有生日相同的概率为0.6913,有生日同的人数为：2×0.6913＝1.3826（人）

相应地，在23000人中，有生日相同的人数为：

1.3826人×1000组＝1382.6（人）

由此可见，P乘其实是一种“排列组合结构概率”（可由n重贝努里实验证实）；P加其实是一种“独立平衡概率”（可由大数定理硬币实验证实）。

可见，P乘要考虑结构性，但不能计算出具体的统计值——不能计算每组内到底有多少人生日同（因为P乘是一个无限趋向于1的概率值，只能回答“发生的可能性有多大？”）；

P加不必考虑结构性，但可计算出具体的统计值——可计算出每组内到底有多少人生日同（因为P加是一个趋向P>1的概率值，能回答“具有统计意义上的具体概率值有多少？”）。

可以说，P乘与P加二者实际上是“概率”与“统计”的统一。

因为自然万物首先应是一个随机的概率过程（然后才是物理的、化学的等作用过程，但随机作用伴随始终），所以，P乘和P加实际是揭示了自然万物这一随机系统（没有外界力量主宰）客观存在的如下不同的二个方面：

一方面是万物以“P加”“量子化”的方式提供物质和能量——这里体现了P加数理机制下的物能守恒[由大数（发展平衡）定理验证，这是一个趋向物能平衡和静态的数理机制]；

另一方面，在万物以“P加”“量子化”的方式提供物质和能量的过程中，由于物能供应的随机性和不均匀性（尽管总物质能量守恒，但其供应过程是随机的、是不均匀的），形成“某物能成分占总体成分之结构比率”——即P乘计算的“排列组合结构”之结构秩序——这里体现了P乘数理机制下的结构是一种具有非线性混沌分形黄金分割螺旋偏离结构（由n重贝努里实验验证，这是一个趋向势差偏离和提供驱动万物运动源泉的数理机制）。

所以，上述二者是“平”与“偏”的统一，是“静”与“动”的统一。

而P加与P乘这样一个独立与结构、平衡与偏离、线性与非线性、无序与有序、矛盾共存的数理机制，则可以用本人首创随机数理概率公式表达出来，即：

P乘＝1-e^-P加

实际上，此概率公式已将上述“n重贝努里实验（乘法原则）”与“大数定理硬币实验（加法原则）”二者本质地关联了起来。

所以，本文特阐明如下三点：

1、因为传统概率理论主张的P乘与本人主张的P加，二者可以统于上述一个数学公式中，表明无论是计算出的P乘值还是计算出的P加值，二者都是正确取值，只不过各自从不同角度去理解和计算而己。所以，论文所引用的“生日问题”、“掷硬币或骰子问题”、“射击问题”、“疾病检查问题”都可以同时取P乘或P加为其正确取值。

2、如果知道了P加值，则可用公式P乘＝1-e^-P加直接求出P乘值，相反，如果知道了P乘值，则可用公式P乘＝1-e^-P加直接求出P加值。

3、从今日起，本博对原来“生日问题”悬赏作以上调整，其他内容不变。

 

附述1：用一个实例说明：为什么P乘是一个“组与组之间”的外概率，而P加是一个“人与人之间”的内概率？

下面用掷骰子来说明：

为了更清晰说明，同时也为了简化起见，首先要将6面骰子改为3面骰子（其原理是一样的）进行计算：

这样，问题就转化为连续掷二枚均匀的三面骰子二次，至少出现一对3的概率是多少？

用加法计算：P加＝1/9+1/9=2/9

用乘法计算：P乘＝1-（1-1/9）²＝17/81

用P加计算的2/9，这一结论很好理解，因为赌场就是用这一原理制定其赔率。那么，用P乘计算的17/81又是一个什么本质意义上的概率呢？

下面先把P乘计算的序列全部列出，然后我们再来下定义。

因为一枚骰子有1、2、3共三个面，

所以，同时掷二枚这种骰子就可组成3×3＝9种组合，

即：（3,3）、（3,2）、（3,1）、（2,2）、（2,3）、（2,1）、（1,1）、（1,3）、（1,2）

那么，连续掷二枚三面骰子2次,就相应地可组成如下9×9＝81种组合：

即：（33,33）、（33,32）、（33,31）、（33,22）、（33,21）、（33,12）、（33,13）、（33,23）、（33,11）、（22,22）、（22,21）、（22,12）、（22,33）、（22,32）、（22,31）、（22,13）、（22,23）、（22,11）、（13,13）、（13,23）、（13,11）、（13,22）、（13,21）、（13,12）、（13,33）、（13,32）、（13,31）、（32.32）、（32,33）、（32,31）、（32,22）、（32,21）、（32,12）、（32,13）、（32,23）、（32,11）、（21,21）、（21,12）、（21,22）、（21,33）、（21,32）、（21,31）、（21,13）、（21,23）、（21,11）、（23,23）、（23,11）、（23,13）、（23,22）、（23,21）、（23,12）、（23,33）、（23,32）、（23,31）、（31,31）、（31,32）、（31,33）、（31,22）、（31,21）、（31,12）、（31,13）、（31,23）、（31,11）、（12,12）、（12,21）、（12,22）、（12,33）、（12,32）、（12,31）、（12,13）、（12,23）、（12,11）、（11,11）、（11,23）、（11,13）、（11,12）、（11,21）、（11,22）、（11,33）、（11,32）、（11,31）

在上述81种组合中，有标记的就是题意要求“至少出现一对3”的发生次数，共有17次，用其 “发生次数”除以“概率空间（或样本空间）”就得到了题意要求的概率：

即：P乘＝发生次数/概率空间＝17/81

也就是当今教材采用的计算结果：

P乘＝1-[1-（1/9）]²＝1-（8/9）²＝17/81

那么，P乘这一概率的数学意义是什么呢？

P乘其实就是：在P[x,x,x,x]这一总“序列结构”中，其中包含有“一对 3”这一序列结构的概率。这里是把“含有某成分的结构”占“整体成分结构”的比率，当成了概率。

说得更明白点，就是在上述81组中，其中含有“一对3”的组数有17组。如果一个赌徒赌（猜测押注）这个游戏，他取胜的概率自然是17/81——即17次押中，另64次押不中。

可见，当今教材主张的P乘实际上是计算“组与组”之间事件发生或不发生的概率值。

然而，每组之内到底有多少“一对3”呢？比如上述第1组中就出现了二对“一对3”（因这是掷二次骰子，如果改掷3次或更多次的骰子，每组和中就会含有更多如此的“一对3”之类的“对子”了），这时，P乘就难以计算这一概率值和统计值了。在这种困境下，这一任务必须由P加来完成，即：P加＝162/9＝18次。比如，在上述81种组合共162次中（当完成掷二枚骰子162次，刚好就是上述81种组合），刚好出现“一对3”18次，理论与实际相符合。也就是说，如果一个赌徒赌（押注）掷这种二枚三面骰子162次后，统计平均而言，他押中“一对3”的次数应是162/9＝18次[这是因为：依据P加原则计算，每掷一次二枚三面骰子出现“一对3”的概率是1/9＝0.111……，掷162次后，出现“一对3”的概率是162×0.111……＝18（将“0.111……”加162次后得到概率值18,这里P加＝18>1），所以出现“一对3”的次数是18次]。

可见，18次这一概率值的取得是“不考虑排列组合序列结构”，是对事件独立发生次数的统计值。

从这一实例我们看到，P乘计算的概率实际上就是在“排列组合”各组序列之间，题意要求“事件发生”的概率，比如，实例中按乘法计算得出共有81组“序列”，其中包含有题意所需的“一对3”的“序列”有17组，因此，其“外概率”是17/81；相应地，P加计算的概率实际上就是“各组内事件独立发生次数”的概率，比如实例中按加法计算得出共发生162次，其中包含有题意所需的“一对3”的发生次数有18次，因此，其“内概率”是1/9×162次＝18（P>1）。

又因为在上述实例中，P加＝18次大于P乘＝17组，而P乘是一个无限趋近1的概率值，所以P加必然要大于1,这是客观事实。因此，针对当今概率定义0≤P≤1，有必要对其进一步完善。

在这一实例中，P乘与P加之间的矛盾（对立统一）关系可用公式P乘＝1-e^-P加调和并统一。

如果将这一实例引申到同原理的“生日问题”（还有：掷硬币问题、疾病检查问题、射击问题等）也是同样结果。

附述2：随机概率数理公式P乘＝1-e^-P加的数学、物理意义：

这一公式将同一随机事件（系统）中同时客观存在的P乘和P加二个不同的方面用这样一个数理公式关联并统一了起来，并揭示了自然万物在P加“计算”下的自组织物能守恒数理机制、以及自然万物在P乘“计算”下的自组织运动（结构）偏离数理机制。

P乘与P加是同一系统——同一矛盾辩证统一体中所体现的对立统一下相互影响、相互斗争；相互关联、相互作用；相互依存、相互调和的不同的二个方面。

附述3：尽管当今教材主张用乘法（P乘）对“生日问题“进行概率计算，且不能真正统计出每组内人与人之间有生日同的真实概率，但依据概率公式P乘＝1-e^-P加，P乘与P加其实是一种固定的“e率”黄金分割比例关系。因此，只需用此公式将P乘导出P加就直接得到了我们所需的真实概率。

比如：50人中，至少有二人生日相同的概率是多少？

通过P乘计算为0.97,但这一答案还不能告诉我们50人中到底有多少人生日相同，这时就可用公式P乘＝1-e^-P加计算得到P加为3.347,相应地有生日相同的人数为3.347×2＝6.694（人）[因为：“二人生日同”这一事件每发生一次的概率为1（100%），所以这里的概率3.347表示其事件已发生了3.347次（即334.7%），而每发生一次的人数当然是二人，所以，有生日同人数就应当是3.347×2＝6.694（人）]

至此，生日问题[生日问题是百年数学趣味题，也是百年数学难题，至今各数学类科普书对“生日问题”的解答仍然是“千奇百怪”、漏洞和偏理叠出。其原因是概率定义不完备，概率教材对“生日问题”仅仅是从乘法（P乘）单一角度解答，忽略了本文主张的加法（P加）解答，因而引起了这种乱象发生]等一系列概率问题在本人历时多年的努力下，终于得到了彻底的解决。

附述4：最后，把本文观点用本文首创的概率公式进行总结性表达：

① P乘＝1-e^-P加[是乘法定理（原则）与加法定理（原则）的统一]

② P外＝1-e^-P内 [是外概率（组与组之间）与内概率（人与人之间）的统一]

③ P概＝1-e^-P统 [是概率（P乘无限趋近1的可能值）与统计（P加真实发生值）的统一]

④ P偏＝1-e^-P平（是非线性偏离与线性平衡的统一）

⑤ P动＝1-e^-P静（是P乘概率势差引发的“动态”与P加概率物能守恒引发的“静态”之间的统一）

⑥ P阳＝1-e^-P阴（是中国阴阳哲理、数理的统一）

⑦ P矛＝1-e^-P盾（总之，是事物矛盾双方的辩证对立与统一）

附述五：在生日问题中，P加计算出来的是理论配对概率，可用于密码碰撞和电子占位等应用中，如果考虑现实中有生日同的实有人数，应采取如下方式计算：

P＝K[1-(1-1/n)]^K-1(K为总人数，n为一年366天)

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林雄春

（湖南·郴州）

2012年11月20日