摘要：本文从理论上运用严格的数学方法对半偏法测电流表和电压表的内阻实验的系统误差进行了分析，从而给出半偏法测电流表和电压表内阻的实验条件，以供大家参考。

 

　　关键词：半偏法 系统误差 相对误差 闭合电路欧姆定律 并联分流 串联分压 

 

　　一、半偏法测电流表的内阻实验系统误差分析

 

　　半偏法测电流表的内阻实验电路原理图如图1所示，实验操作步骤如下：

 

W020140213531506544676.gif

图1

 

　　第一步：开关_{W020140213531506545087.gif}的阻值调到最大。

 

　　第二步：闭合开关_{W020140213531506545087.gif}，使电流表满偏。

 

　　第三步：保持开关_{W020140213531506692537.gif}的阻值，使电流表半偏。

 

　　第四步：记下此时电阻箱_{W020140213531506697058.gif}。

 

　　本实验要求滑动变阻器的阻值远大于电流表的内阻，即_{W020140213531506692537.gif}的电流比通过电流表的电流要大，根据并联分流规律可知，半偏法测出的电流表的内阻要比电流表的实际内阻小。下面笔者从理论上运用严格的数学方法对该实验的系统误差进行分析。

 

　　假定电源的电动势为_{W020140213531506858388.gif}。

 

　　闭合开关_{W020140213531506545087.gif}，使电流表满偏时，根据闭合电路欧姆定律得

 

　　_{W020140213531506853886.gif}                                    （1）

 

　　闭合开关_{W020140213531506855445.gif}                   （2）

 

　　联立（1）和（2），消除_{W020140213531506854759.gif}                （3）

 

　　由（1）解得_{W020140213531507014888.gif}    （4）

 

　　由（3）可知_{W020140213531507017593.gif}近似成立。

 

　　由（4）可知_{W020140213531507168834.gif}                （5）

 

　　由（5）可知，电源的电动势_{W020140213531506694149.gif}越大，相对误差越小。

 

　　结论：用半偏法测电流表的内阻时，测量值比真实值小，为减小实验误差，应使滑动变阻器的阻值远大于电流表的内阻，即_{W020140213531506692531.gif}，而要做到这一点，必须使用电动势较大的电源，且为防止电流表过载，必须用大阻值的滑动变阻器与之匹配，可见电源的电动势的大小对误差起主导作用。

 

　　二、半偏法测电压表的内阻实验系统误差分析

 

　　半偏法测电压表的内阻实验电路原理图如图2所示，实验操作步骤如下：

 

W020140213531507163013.gif

图2

 

　　第一步：开关_{W020140213531507326452.gif}。

 

　　第二步：闭合开关_{W020140213531507163272.gif}的位置，使电压表满偏。

 

　　第三步：保持滑动变阻器_{W020140213531506692537.gif}的阻值，使电压表半偏。

 

　　第四步：记下此时电阻箱_{W020140213531507323991.gif}。

 

　　本实验要求滑动变阻器的阻值远小于电压表的内阻，即_{W020140213531506692537.gif}两端电压比电压表两端电压要大，根据串联分压规律可知，半偏法测出的电压表的内阻要比电压表的实际内阻大。下面笔者从两个不同的角度运用两种方法对该实验的系统误差进行分析。

 

　　假定电源的电动势为_{W020140213531506694149.gif}，内阻为，电压表的满偏电压为。

 

　　当_{W020140213531507489849.gif}       （1）

 

　　调节电阻箱_{W020140213531506692537.gif}的阻值，使电压表半偏时，根据闭合电路欧姆定律及串联分压公式得

 

　　_{W020140213531507483377.gif}              （2）

 

　　方法一：

 

　　联立（1）和（2），消除_{W020140213531506694149.gif}和得             （3）

 

　　显然，且与_{W020140213531506692537.gif}的相对误差

 

　　根据平均值不等式_{W020140213531507638696.gif}

 

　　又根据分式不等式_{W020140213531507799920.gif}

 

　　则由（1）可知_{W020140213531507794950.gif}）

 

　　于是有_{W020140213531507940440.gif}                      （4）

 

　　由（4）可知，当_{W020140213531507947068.gif}，故要选择电动势略大于电压表的满偏电压的电源。

 

　　方法二：

 

　　将（1）式整理成关于_{W020140213531507327660.gif}的一元二次方程得

 

　　_{W020140213531507940720.gif}                          （5）

 

　　将（2）式整理成关于_{W020140213531507327660.gif}的一元二次方程得

 

　　_{W020140213531507940234.gif}                   （6）

 

　　方程（5）和（6）有公共根，记为，即为_{W020140213531507327660.gif}的阻值。设方程（5）的另一根为，方程（6）的另一根为，根据韦达定理即一元二次方程的根与系数的关系得

 

　　_{W020140213531508109561.gif}   （7）       _{W020140213531508100286.gif}          （8）

 

　　_{W020140213531508266661.gif}  （9）       _{W020140213531508261275.gif}   （10）

 

　　_{W020140213531508261600.gif W020140213531508261244.gif} （11）      _{W020140213531508414497.gif}          （12）

 

　　联立（11）和（12）解得_{W020140213531508419611.gif}  （13） _{W020140213531508416337.gif}  （14）

 

　　将（13）代入（7）解得_{W020140213531508410234.gif}                  （15）

 

　　将（13）代入（8）解得_{W020140213531508417621.gif}                           （16）

 

　　根据及（15）和（16）得与_{W020140213531506692537.gif}的相对误差的取值范围

 

　　_{W020140213531508575815.gif}        （17）

 

　　注意：由于_{W020140213531508735660.gif}

 

　　由（17）式的左边可知，_{W020140213531507947068.gif}，故要选择电动势略大于电压表的满偏电压的电源。

 

　　结论：显然上述两种方法得出的结论是一致的，由此可知用半偏法测电压表的内阻时，测量值比真实值大，为减小实验误差，应使滑动变阻器的阻值远小于电压表的内阻且应该选择电动势略大于电压表的满偏电压的电源。

 

　　参考文献：

 

　　1．全日制普通高级中学教科书（必修加选修）物理第二册 人民教育出版社物理室编著（2003年6月第1版）

 

　　2．张大同编《高中物理竞赛辅导》 陕西师范大学出版社（2000年6月第2版）