大一小朋友注意！泰勒展式，学长眼中的泰勒展式！
(一些补充声明：1.本文适合理工科非数学系大一小朋友阅读。2.非学术贴，请当作低端科普娱乐贴阅读。) 以下为原文：
最近被不少大一小朋友问到关于泰勒展式的问题。作为一名终日翘课在外游手好闲不务正业的学长，看见小朋友们学习如此勤奋刻苦，我实在是既欣慰又惭愧啊！恰逢今晚宅在自习室无所事事，我就把自己对泰勒级数的一些残留印象贴出来，给可爱的小朋友们做个参考吧~
这几天我发现，很多小朋友在初学泰勒展式时，光顾着记公式、看证明，对泰勒展式的含义却没有理解透彻。这是不好的~
泰勒展式的目的其实十分明确：在某一点附近，用多项式函数去逼近（近似代替）一个函数。为了近似效果着想，我们恨不得这个多项式函数在那一点的值、导数乃至n阶导数都与原函数相等。这样一来，泰勒展式那一长串的式子也就很好理解了：它刚好满足我们的近似要求，不信自己动手求求导试试。
同样好理解的是，n取得越大，式子越长，近似效果也就越好。为了形象地说明这一过程，我们可以把n从小到大的一系列多项式函数画出来进行对比。下图是某函数在原点附近展开的图像（红色为该函数），n取1-5，x取0-1.
(p.s.顺便把这段图像的MATLAB代码放出来，考考小朋友们的编程能力。能猜到函数是什么吗？)
代码：
clear
x=0:.001:1;
y=1;
hold
on
for i=1:5
y=y+x.^i/factorial(i);
plot(x,y);
end
plot(x,exp(x),'r');hold off
图像：
http://fmn.rrimg.com/fmn056/20111108/2235/b_large_PKPo_20c7000188a8126a.jpg
可以看见，展开到3阶以上，即n>3时，多项式函数与原函数已经很贴近了。然而值得注意的是，泰勒展式只能在某点附近近似替代函数，是一种局部性质。当x取值太远，被忽略的余项就要发飙了。
http://fmn.rrimg.com/fmn061/20111108/2235/b_large_pyLw_20d400018944126a.jpg
当然，可以采用增大n的方式来暴力对抗余项误差：
http://fmn.rrfmn.com/fmn058/20111108/2240/b_large_XJ2B_254f0001a2b61262.jpg
上图取n=11，逼近效果又好起来了，但可以预见的是，当x继续增大，误差也会再次变大。
爱动脑筋的小朋友可能会问，有没有什么办法一劳永逸地解决误差问题？有，但是比较麻烦，那就是：把n取为无穷大。细心的小朋友会顿生疑窦，无穷多个数相加有意义吗？
问得好。无穷个数作和，这正是[级数]研究的问题。因此，泰勒公式又称为泰勒级数。级数理论定义，无穷个数的和是一个有限数的话，便称级数“收敛”；无穷则叫“发散”。对于一列由无穷个函数相加构成的级数，若x取某值时，函数的和收敛，称级数在该点“点态收敛”；使函数项级数点态收敛的点构成级数的“收敛域”。级数理论告诉我们，幂函数级数（即n取无穷时的泰勒展式）满足一定条件时是存在收敛域的。至于条件是什么，小朋友们不要着急，今后总会学的~
顺便提一句，如果只展开到x最低次方项，泰勒展式就成了微分公式。因此，泰勒展式也可以看作高级微分公式，或者微分公式的推广~
有的小朋友可能会问：这么复杂的公式学了有什么用？别着急，不会让你白学的。事实上，翻开任何一本物理教材，你都会发现，泰勒公式几乎无处不在－－好在大都只用求一两阶就够了。因此，（语重心长地）小朋友们一定要学好泰勒展式啊！
现在我们看一下另一段代码。
clear
x=-pi:.001:pi;
y=1/2;
for i=1:10000
y=y-2*sin((2*i-1)*x)/(2*i-1)/pi;
(2015-01-26 10:19:41) 
加载中…