《几何画板》：“垂径定理”的教学案例

　　垂径定理在人们日常生活中有着广泛的应用，如教材某一章节中下的例子：河北省赵县的赵州桥是一座圆弧石拱桥，它的跨径（弧所对的弦的长）约为37.0米，拱圈的矢高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱圈的半径（精确到0.1米）。要解决这个问题首先要掌握垂径定理。

　　提出任务

　　由于学生接触几何不久，根据学生的认知规律，课本在提出垂径定理时没有直接用推理的格式来说明。而是通过轴对称性质“对折”一个圆引出垂径定理。如果我们利用教学软件向学生展示这一“对折”过程，可让学生直观地感受知识的正确性，在此基础上激发学生探索证实知识的正确性，逐步使学生的认识上升到理性认识。对比几种教学软件，笔者选择了《几何画板》。

　　发现矛盾

　　《几何画板》以“动态几何”为特色，当笔者利用“编辑”菜单中“操作类按钮”下的“移动”功能将圆的左半部绕直径翻折，发现半圆在运动过程中始终是半圆。这与立体几何中圆的直观图是椭圆相矛盾。

　　解决方法

　　经过一番思索，理顺图形元素间的“派生”关系，终于解决了问题（如图所示），具体步骤如下：

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　　1. 作直径为AB的O。

　　2.在O内直径AB的一旁取一点C。

　　3.选中A、C、B，作弧ACB，拖动点C，直观地看到弧ACB的形状的变化。给弓形ACB和弓形AFB取不同的颜色。

　　4.在AB上取一点D，选中点D和直径AB，过点D作AB的垂线与O交于点E、F。

　　5.选中点C、D，作线段CD，同样作线段FD。

　　6.连接OC、OF，隐藏线段EF。

　　7.选中点C和点F，执行“编辑/操作类按钮/移动”，出现移动按钮，改名为“折叠”，选中点C和点E，执行“编辑/操作类按钮/移动”，按钮改名为“还原”。

　　8.拖动点C至E，使点C和点E重合，隐藏点E。

　　双击〔折叠〕按钮，左半圆绕直径徐徐翻动，由半圆变为半椭圆，最后和右半圆重合。学生观看了动画演示后加深了对知识的理解，强化了记忆，教师节省了教学时间，收到了事半功倍的效果。

　　心得体会

　　《几何画板》中“动画”与“移动”是人们将古老几何变为“动态几何”运用较多的两大功能。《几何画板》不仅可以让一个点沿一条路径运动，也可以“点到点”运动。前者叫“动画”，后者叫“移动”。本例制作第7步采用了“点到点”的移动。第8步中拖动了点C使它和点E重合，“拖动”操作无非改变了图形元素的位置，其操作本身“貌不惊人”。但本例制作将“移动”与“拖动”相结合，起到了“移花接木”的作用，达到了“以假乱真”的效果。