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评估投资机会的优劣应该从收益期望和风险两方面综合考虑。如何量化这一思想呢？ 1950年代，有人提出用回报期望和波动性的比例作为衡量投资机会的指标。1966年，学者夏普（William Sharpe）在此基础上提出了著名的夏普比率（Sharpe Ratio）：
S = (R – r) / σ， 其中：
R = 投资的回报期望值（平均回报率）
r = 无风险投资的回报率（可理解为投资国债的回报率）
σ = 回报率的标准方差（衡量波动性的最常用统计指标）
夏普比率S越高，投资机会的“质量”越高。 举个例子：
甲投资：超额（超出国债）回报期望10%，标准差20%，夏普比率为0.5
乙投资：超额回报期望5%，标准差5%，夏普比率为1
乍一看，甲投资回报期望高，似乎是比较好的机会。其实乙投资更胜一筹（通常情况下），因为它的夏普比率高，意味着投资者用1个单位的“风险”能换取更多的回报期望。从杠杆投资的角度也可以得出同样的结论：假设投资者以r贷款利率融资，在乙投资机会上加1倍杠杆，那么“杠杆化”的乙投资就变成了10%回报期望，10%标准差，与甲投资的回报期望相同，而风险较小。
夏普比率多高才算“好”呢？我们来看一个实际的例子：美国股市的长期年平均回报率约为10%，波动性约为16%，无风险利率约为3.5%，因此夏普比率约为0.4（来源：维基百科）。翻译成白话就是：投资美股指数的年均回报率约比无风险利率高6.5%，但平均6年中有1年的回报率低于 -6%（1倍标差之外）。对于长线投资的散户而言，投资美股的风险/回报还算说的过去。如果是对冲基金经理，这样的夏普比率就太低了：假设你的目标是20%年回报率，就必需用2.5倍杠杆（回报期望 = 2.5*10% - 1.5*3.5% ≈ 20%），也就意味着平均6年中有1年的回报率将低于2.5*（10% - 16%）- 1.5*3.5% = -20%。你赔了超过20%，客户大概就要跑光了。
一般说来，夏普比率超过1才是“好游戏”。这种机会在“简单投资”中并不多见，因此职业投资者常常利用对冲手段“改造”投资游戏，提高夏普比率。《乱世华尔街》中多次提到，对冲与杠杆是一对孪生姐妹，两者往往配合使用，说得就是这个原理。例如，你发明了一种方法，用各种资产相互对冲得到夏普比率为2的投资机会，那你就可以大胆加杠杆（数学好的同学们可以自己计算赔钱的概率），投资者大概要追着给你的对冲基金投钱了。但对冲+杠杆的投资方法通常有个“练门”：需要借很多钱，对流动性要求高，因此遇到突发性危机往往会出问题，《乱世华尔街》中就分析过LTCM和高盛Global Alpha基金的例子。
夏普比率也存在缺陷，它假设回报是正态分布，而实际的投资回报分布有“肥尾”（赔大钱的概率高于正态分布的估计），因此单纯根据夏普比率挑选投资机会存在问题，也容易被“操纵”。这个话题此处暂不展开讨论。
对普通投资者而言，夏普比率提示要从风险和回报的角度综合考虑，挑选“性价比”高的投资。这正是前面的文章中提到的观点：正回报的游戏要挑波动性小的，负回报的游戏如果非得玩，就挑波动性大的。总之，夏普比率越高越好。
夏普比率讲的是如何挑选“游戏”，而凯利公式讲的是选好了游戏后如何下注才能取得最优的长期回报率。现在我们就把两种方法配合起来使用，看看21点计牌到底是不是条发财的路。
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下面是简单的问答：
第一个问题：关于美国股市的那个例子中，“平均6年中有1年的回报率低于 -6%”是怎么算出来的？
夏普比率假设投资回报符合正态分布（见下图）。 从数学上说，大量独立随机事件之和一般符合正态分布。例如不停地扔硬币，正面为1，反面为-1，大量重复后结果之和就符合正态分布。前面的博客提到过，学术界流行“有效市场理论”：股市每一步运动方向都是独立随机的，相当于不断“扔硬币”，最后回报率当然就符合正态分布。再讲下去就是数量金融的基础课《随机过程》了，就此打住。
正态分布的假设虽不完美，但不失为理解问题的基本框架。 下图显示了正态分布的概率数值。例如，回报率在0倍到0.5倍标准差之间的概率为19.1%（图中绿色部分）。同理，回报率低于-1倍标准差（图中橙色部分）的概率约为16%。应用于美国股市（回报率中值10%，标准差16%），年回报率低于-1倍标准差，即10% - 16% = -6%的可能性约为1/6。“平均6年中有1年的回报率低于 -6%”就是这么估算出来的。
第二个问题：夏普比率的假设有没有不符合实际之处？
当然有。 正态分布的假设就不完美。实际上，股市运动不完全“独立随机”，否则我们就不需要费心研究什么规律了。例如在金融危机中，股市运动有很强的序列相关性（serial correlation），即所谓“趋势”，导致实际的股市回报有“肥尾”现象，就是说“跑到极端位置”的可能性高于正态分布的估计。另外，夏普比率中的“无风险回报率”r是个模糊的概念，投资者的融资成本也不是r。 再有，波动性的测算也并非简单问题。其他不一一介绍了，已有N多学术论文讨论夏普比率的局限性及改进方案。
第三个问题：夏普比率对普通投资者到底有什么用处？
主要是思维上的启示：投资不能只看回报率，还要看担多少风险。下次再有人告诉您“我过去三年平均回报30%！”的时候，您可以“弱弱”地问一句：“波动性多大？”。
上面谈到，评估投资绩效不能只看回报率，还要考虑风险因素。 现在我们就来看一个对冲基金的实际例子。下表是几个知名大型对冲基金的平均年回报率（资料来源：汇丰银行研究报告）。 这些基金管理资产均在10亿美元以上，开业时间均在5年以上。您会把钱投给哪家基金呢？
表1
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年复合回报率
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基金A
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14.15%
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基金B
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15.17%
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基金C
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15.20%
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基金D
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79.17%
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基金E
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2.78%
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您会选年回报率79%的基金D，对吗？恭喜，您选中的正是在金融危机中大举做空次贷类产品，豪取几十亿美元利润，出尽风头的Paulson Credit Opportunities Fund。创建并管理该基金的保尔森（和前任美国财长保尔森同姓，但没有亲属关系）也一举成为最著名的基金经理之一。
但我们刚刚讨论过：不能只看回报率，还要考虑风险。表2中列出了各基金的波动性和夏普比率估值（假设无风险回报率为3%），您看过之后有何想法？
表2
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年复合回报率
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回报率波动性
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夏普比率
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基金A
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14.15%
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5.94%
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1.9
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基金B
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15.17%
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12.30%
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1.0
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基金C
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15.20%
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4.53%
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2.7
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Paulson Credit Opportunities
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79.17%
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49.83%
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1.5
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基金E
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2.78%
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12.21%
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<0
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从波动性和夏普比率的角度一分析，情况有点复杂了。基金C回报率虽然只有15%，但波动性不到5%，因此夏普比率高达2.7，竟比保尔森基金的1.5高出近一倍！换言之，基金C的波动性只有保尔森基金波动性的十分之一，假设投资者只愿意承担固定的波动性风险，那么他可以投资1元在保尔森基金或10元在基金C，风险都差不多，而投资基金C的总回报更高！
基金C是Millennium Intl Ltd（千禧年基金），对冲基金业界的常青树，旗下经理中曾有若干华裔高手。站在投资者角度，到底是选“赚得狠”的保尔森基金，还是选“赚得稳”的千禧年基金，还真有点难以取舍。另外，基金A和基金B的夏普比率都明显高于美国股市的0.4，也是不错的投资选项。而基金E的回报率竟低于无风险利率，“境界”太低了。
再进一步分析，仅用夏普比率做比较，好像对保尔森基金“不太公平”：它的波动性虽然高，但主要是“向上波动”，在盈利嗖嗖涨的过程中产生的“波动性”，其实并非风险。投资者怕的是赔钱，尤其是一下赔掉百分之几十。所以衡量风险还应该考虑“最大跌幅”，即各基金历史上从最高点“回落”的最大比例，见表3。
表3
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年复合回报率
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回报率波动性
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夏普比率
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最大跌幅（发生时间）
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Bluecrest
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14.15%
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5.94%
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1.9
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-4.83% （2003）
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FORE
(前沿资本)
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15.17%
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12.30%
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1.0
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-27.01%（2008）
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Millennium
(千禧年)
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15.20%
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4.53%
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2.7
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-7.24% （1998）
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Paulson Credit Opportunities
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79.17%
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49.83%
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1.5
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-10.41%（2007）
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Drake
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2.78%
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12.21%
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<0
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-51.74%（2007-2009）
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现在更有意思了，基金A（Bluecrest Capital）的最大跌幅只有不到5%，而且发生在2003年。该基金在2007-2008年的大危机中竟然避免了重大损失，相当有吸引力。 Bluecrest 和千禧年都属于“赚得稳”类型，都躲掉了次贷危机，两者似乎难分伯仲。它们和保尔森基金相比，可谓春兰秋菊、各擅胜场，因此三支基金都是机构投资者青睐的对象，管理资金分别达到86亿美元，100亿美元和63亿美元。看来人家能“做大”是有道理的。（注：不少“名牌”基金为保持回报率，已不再接收新投资。）
基金E（Drake Absolute Return Fund）也曾是管理数十亿美元的大型基金，但它在金融危机中遭到了50%以上的巨大损失，令投资者失去信心，纷纷撤资，所以Drake现今管理的资本已只有2亿美元。可见，不管做的多大，如果不注意风险也可能“一夜回到解放前”。 前文中讲了利弗莫尔，此处的Drake也是活生生的例子。
最后来看看基金B，它的长期年复合回报率15%，夏普比率1，综合指标不错，虽然在2008年一度遭到27%的损失，但已成功渡过危机。可以说基金B具有相当实力，因此它也成为管理10几亿美元的大基金。 该基金的名字是FORE Capital（前沿资本），瓢把子Matthew Li（黎彦修）是华人在对冲基金界的一面旗帜。 让我们为华裔高手的成功鼓掌！
从这个评估投资业绩的真实例子，我们可以看到夏普比率和最大跌幅等风险指标的用处。 初学投资者常有只重回报、不看风险的毛病。凯利公式也好、夏普比率也好，其实都告诉我们一件事：要在回报和风险之间寻找平衡。
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