在元组关系演算中，元组关系演算表达式（简称为元组表达式）用表达式{t│Q（t）}来表示，其中t是元组变量，它表示一个定长的元组，Q(t)是公式，公式是由原子公式组成的。

原子公式有下列三种形式：

 （1）R(s)，其中R是关系名，s是元组变量。它表示这样的一个命题：“s是关系R的一个元组”。

 （2）s[i]θu[j]，其中s和u都是元组变量，θ是算术比较运算符。该原子公式表示这样的命题：“元组s的第i个分量与元组u的第j个分量之间满足θ关系”。例如，s[1]<u[2]表示元组s的第一个分量必须小于元组u的第二个分量。

（3）s[i]θa 或 aθs[i]，这里a是一个常量。前一个原子公式表示这样的命题：“元组s的第i个分量与常量a之间满足θ关系”。

在一个公式中，如果一个元组变量的前面没有存在量词 ∃ 或全称量词 ∀ 等符号，那么称之为自由元组变量，否则称之为约束元组变量。元组表达式的一般形式{t│Q（t）}中，t是Q中唯一的自由元组变量。

公式可以递归定义如下：

（1）每个原子公式是公式。

（2）如果 Φ 1 和 Φ 2 是公式，则 Φ 1 ∧ Φ 2 、 Φ 1 ∨ Φ 2 、 ﹁ Φ1 也是公式。分别表示：

     ① 如果 Φ 1 和 Φ 2 同时为真。则 Φ 1 ∧ Φ 2 才为真，否则为假；

     ② 如果 Φ 1 和 Φ 2 中一个或同时为真，则 Φ 1 ∨ Φ 2 为真，仅 Φ 1 和 Φ 2 同时为假时， Φ 1 ∨ Φ 2 才为假； 

     ③ 如果 Φ 1 真，则 ﹁ Φ 1 为假。

（3）若 Φ 是公式，则 ∃ t(Φ) 也是公式。其中符号 ∃ 是存在量词符号， ∃ t(Φ) 表示： 
  若有一个 t 使 Φ 为真，则 ∃ t(Φ) 为真，否则 ∃ t(Φ) 为假。

（4）若 Φ 是公式，则 ∀ t( Φ ) 也是公式。其中符号 ∀ 是全称量词符号， ∀ t( Φ ) 表示：如果对所有 t ，都使 Φ 为真，则 ∀ t( Φ ) 必为真，否则 ∀ t( Φ ) 为假。 

（5）在元组演算公式中，各种运算符的优先次序为：

     ① 算术比较运算符最高；

     ② 量词次之，且 ∃ 的优先级高于 ∀ 的优先级；

     ③ 逻辑运算符最低，且 ﹁ 的优先级高于 ∧ 的优先级， ∧ 的优先级高于 ∨ 的优先级；

     ④ 加括号时，括号中运算符优先，同一括号内的运算符之优先级遵循 ①②③ 各项。

（6）有限次地使用上述五条规则得到的公式是元组关系演算公式，其他公式不是元组关系演算公式。

关系代数的6种基本运算均可用元组表达式来表示（反之亦然）。其表示如下：

（1）并

R ∪ S={t|R(t) ∨ S(t)}

（3）差 

R － S={t|R(t) ∧ ﹁ S(t)}

（4）笛卡尔积 

R×S={t (n+m) |( ∃ u (n) )( ∃ v (m) )(R(u) ∧ S(v) ∧ t[1]=u[1] ∧ ... ∧ t[n]=u[n] ∧ t[n+1]=v[1] ∧ ... ∧ t[n+m]=v[m])} 注： t (n+m) 表示 t 有目数 (n+m)

（5）投影 

π t1,t2,...,tk (R)={t (k) |( ∃ u )(R(u) ∧ t[1]=u[t1] ∧ ...t[k]=u[tk] )}

（6）选择 

σ F (R)={t|R(t) ∧ F’} 注： F 是公式，F’是用 t[i] 代替 运 算 对 象 i 得到的等价公式。

上面定义的关系演算允许出现无限关系。例如 {t| ﹁ R(t)} 表示所有不属于 R 的元组 ( 元组的目数等于 R 的目数 ) 。要求出这些可能的元组是做不到的，所以必须排除这类无意义的表达式。把不产生无限关系的表达式称为安全表达式，所采取的措施称为安全限制。安全限制通常是定义一个有限的符号集 dom(Φ) ， dom(Φ) 一定包括出现在 Φ 以及中间结果和最后结果的关系中的所有符号 ( 实际上是各列中值的汇集 ) 。 dom(Φ) 不必是最小集。

 当满足下列条件时，元组演算表达式 {t|Φ(t)} 是安全的：

（1）如果 t 使 Φ(t) 为真，则 t 的每个分量是 dom(Φ) 中的元素。

（2）对于 Φ 中每一个形如 ( ∃ t)(W(u)) 的子表达式，若 u 使 W(u) 为真，则 u 的每个分量是 dom(Φ) 中的元素。

（3）对于 Φ 中每一个形如 ( ∀ t)(W(u)) 的子表达式，若 u 使 W(u) 为假，则 u 的每个分量必属于 dom(Φ) 。换言之，若 u 某一分量不属于 dom(Φ) ，则 W(u) 为真。

等价的转换规则

（1）P1∧P2等价┓(┓P1∨┓P2）

（2）P1∨P2等价于┓(┓P1∧┓P2)

（3）(∀s)(P1(s))等价于┓(∃s)(┓P1(s))

（4）(∃s)(P1(s))等价于┓(∀s)(┓P1(s))

（5）P1→P2等价于┓P1∨P2。