一、数学的基本思想

1. 课程目标：由双基到四基（实现教育理念的转变）

 过去的教育理念：以知识为本

      教学大纲

      关心问题是：

          应当教那些内容；应当教到什么程度

      考核内容是：

          规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求

            教学目标是：

          基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆）

          基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练）

            教学形式是：

          课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）

现代的教育理念：以人为本、育人为本（纲要）

课程标准

     以学生的发展为本

     人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法

            不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能

            还要培养学生的数学素养（素质教育）：让学生

                感悟数学的基本思想，通过数学教学（数量、图形）

                积累基本活动经验：会想问题、会做事情

课程目标：基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验

                 分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题

                 解决问题 → 问题解决

2. 什么是数学的基本思想

             数学是研究数量关系和空间形式的科学

   研究对象：数量、图形

   研究内容：数量关系、图形关系

   数学的基本思想：数学的产生与发展必须依赖的思想

                   学习过数学与没有学习数学的思维差异

                   抽象、推理、模型

数学教学的责任：会抽象、会推理 

通过抽象：现实 → 数学

          把研究对象、以及对象之间的关系形成概念

          从现实世界到数学内部，数学具有一般性

通过推理：数学 → 数学

          从假设前提出发，通过推理得到数学的结果

          数学内部的发展，数学具有逻辑性

通过模型：数学 → 现实

          解决现实世界中的与数量和图形有关的问题

          从数学内部到现实世界，数学具有应用性         

得到数学的基本特征：

    一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）

二、小学数学中的抽象

1、数学思想：抽象、推理、模型（不是知识，不靠讲解靠感悟）

教学要点：感悟什么？如何感悟？

 

抽象有两种方法：对应、定义

      数是对数量的抽象，

      同时抽象出关系，从数量的多少到数的大小。

对应：三个苹果、三只鸡 → □□□ ←→ 3 （去掉物理属性）

定义：一个一个多起来（后继数）：

      1 = 0 + 1，2 = 1 + 1，3 = 2 + 1，4 = 3 + 1，…    

小学阶段的数学教育：

      开始用对应的方法，以后用定义方法

      对应：负数 量相等、意义相反

            不能用数轴解释、最好不用减法或相反数解释

      定义：如何认识 10000：比 9999 多 1，

       数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质

           （基本概念与运算法则：小学数学核心问题，

                                             高等教育出版社，2013年）

    读数的关键：十个符号 + 数位

                如何读 2002

    符号 0 很重要： 1 ～ 10  → 1 ～ 9 → 0 和 10

           相反数： a + b = 0，b 为相反数，表示为 -a

    数位与数不同

    数位：个(ones)、十(tens)，“十”是十个“个”

                              “万”是十个“千”

      数：10 = 9 + 1

          10000 = 9999 + 1

抽象的小结

 抽象出数学研究的对象：

              把外部世界的数量和数量关系、

              图形与图形关系引导数学内部。

      概念：自然数、负数、点、线、面、体、角

      关系：（代数）数的大小关系，（几何）两点决定一条直线

      法则：加法 → 减法、乘法、除法

 

抽象的东西不存在：现实中没有 2，只有具体的两匹马、两头牛

抽象的东西是理念的存在

               

三、小学数学中的推理

推理：数学内部的发展依赖的是逻辑推理

 

数学的结论都是命题

        数学命题：可供正确或者错误判断的陈述

                             可以判断，下面陈述不是数学命题

                                    这个三角形是美的

                             仅供判断，下面两个陈述都是数学命题

                  三角形内角和180度

                  三角形内角和120度

 

直接推理：对命题的直接判断

一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程

逻辑推理

    命题的内涵之间存在一条主线

         凡人都有死。苏格拉底是人。苏格拉底有死。

非逻辑推理

  命题的内涵之间不存在一条主线

         苹果是酸的，酸是一种味道，苹果是一种味道。

 

两种逻辑推理

     演绎推理：命题内涵由大到小。从一般到特殊。

     归纳推理：命题内涵由小到大。从特殊到一般。

模型：

抽象：把现实世界（数量、图形、关系）引到数学。

推理：数学内部的发展。

模型：从数学回归到现实世界。

                    模型是沟通数学与现实世界的桥梁。

          模型讲述的是现实世界的故事。

课标中主要要求两个模型

     总量模型（加法模型）：总量 = 部分 + 部分

                                                 部分 = 总量–部分

                       → 系列模型：现在 = 过去 + 变化

     路程模型（乘法模型）：路程 = 速度 ×时间

                                                 速度 = 路程 / 时间