三、分类讨论思想

分类讨论是人们常用的重要思想方法，无论是在生产活动、科学实验中，还是在日常的生活中，都常常需要用到它.

分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛,通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响.

1.分类讨论思想的概念

由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分类,必须遵循一定的原则,以保证分类科学、统一,不重复、不遗漏,并力求最简.

2.分类讨论的原则

从某种意义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”,达到运用知识合理解决问题的思想方法.那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则.

（1）同一性原则

同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集I, 是I的子集,并以此分类,且A₁∪A₂∪…An=I,则称这种分类（A₁,A₂…An）符合同一性原则.比如,我们若把实数R分成正实数R+与负实数R﹣,那这种分类不符合同一性原则,因为R= R+∪R﹣∪﹛0﹜,则这种分类方法遗漏了零.

（2）互斥性原则

由同一性原则可以看出,在分类讨论时,同一性仅仅考虑了“不遗漏”,但是对于全集I来说,A1,A2…An在满足A1∪A2∪…∪An=I的前提下,并不能保证Ai∩Aj= ?（i,j n,i j）,即在分类讨论中不能避免重复讨论,使讨论复杂,互斥性原则则解决了这一问题,即对于研究对象I, Ai(i=1…n)是I子集,且作为分类的标准,若Ai∩Aj= ?（i,j n, i j）,则称这种分类符合互斥性原则.

（3）层次性原则

如果在解决某一问题时,需要分类讨论,当确定了某一标准进行分类讨论后,问题并没有得到解决,还需要继续进行分类讨论,这时,我们称之为两个不同层次的讨论,这就是分类讨论的层次性,而分类讨论的层次性原则是指分类讨论必须按同一标准的层次进行,不同标准的不同层次的讨论不能混淆,层次性原则实质上就是要求有层次的分类讨论不错位、不越位.

由上看出,分类讨论三原则,同一性、互斥性、层次性中,同一性要求分类不遗漏,互斥性则使分类不重复,二者是分类划分的基本原则,而层次性是在解决某些问题时,按同一标准一次分类,尚不能完全达到目的,而要求再次分类时必须掌握的原则,层次性是在同一性、互斥性的基础上的分类原则.

3.分类讨论的步骤

同一性、互斥性、层次性三原则仅仅保证合理分类,是分类讨论中的核心步骤,解题中,分类讨论一般分为四步：

第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；

第二，正确选择分类标准,合理分类；

第三，逐类、逐段分类讨论；

第四，归纳并做出结论.

 分类讨论第一要明确为什么要分类讨论,第二要形成分类讨论的意识,第三要学会如何合理分类并正确进行讨论,第四要掌握分类讨论的严密性和表达的正确性.

4.引起分类讨论的七种基本形态

并非所有的数学问题都需要进行分类讨论,但若涉及到以下七种

情况,常常需要进行分类讨论使问题简单化.

（1）概念分段定义

像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线的斜率、复数的辐角主值等,当这些概念出现时,一般要进行分类讨论.

（2）公式分段表达

在解决数学问题时,常常要用到数学公式,若该公式是分段表达的,那么在应用到这些公式时,需分类讨论。

（3）实施某些运算引起分类讨论

在解决数学问题时,不论是化简、求值还是论证,常常要进行运算,若在不同条件下实施这些运算时会得到不同结果时,会引起分类讨论.

（4）图形位置不确定

如果图形的位置不确定,常常会引起分类讨论,因此,如果图形可能处于不同位置并且影响问题的结果时,首先要有分类讨论的意识,其次要全面考察,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏解.

（5）图形的形状不同

当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进行分析讨论.

（6）字母系数参与引起分类讨论

字母系数的出现,常常会使问题出现多种不同情况影响了问题结果,从而引起分类讨论.

（7）条件不唯一引起分类讨论

由于条件不唯一,可能引起方程类型不确定,曲线种类不确定,

位置关系不确定,形状不确定等出现,需要对不同情况合理分类,正确讨论.

总而言之,分类讨论思想的本质是逻辑划分,可以用集合的观点依据同一性、互斥性、层次性正确分类,并依据一定步骤合理地进行分类讨论,分类讨论即是一种思想,又是一种策略,还是一种方法,它广泛应用于中学数学的问题解决中.