二、数形结合思想

1.数与形是数学中两个最古老的、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论.数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在数学中占有重要的地位.

2.数形结合的解题方法特点是具有直观性、灵活性、深刻性，并跨越各科的知识界限，有较强的综合性.在复习中加强这方面的训练，对巩固和加深有关数学知识的理解、打好基础、提高能力是非常重要的.

数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题。从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解题途径，这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助.

数形结合的主要方法有：解析法、三角法、图象法等.

3.数形结合的主要途径：

（1)形转化为数：即用代数方法研究几何问题，这是解析几何的基本特点.

（2)数转化为形：即根据给出的“数式”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数问题.

（3)数形结合：即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷、思路易寻.

4、在运用数形结合时，要注意两点：

（1)“形”中觅“数”：很多数学问题，需要根据图形寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题获解.

（2)“数”上构“形”：很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，由于这种几何特征可以发现数与形之间的新关系　，从而将代数问题化为几何问题，使问题获解.

以上两者之间是相互联系的.例如在解析几何中，虽然研究的主要方面是用函数方法解决几何问题，但是由于我们在研究中得到某些代数表达式具有明显的几何意义，则可在确定合适的坐标系后获得几何解释，从而能借助几何方法加以解决.