植树问题

一、内容：人教版义务教育课程标准实验教材四年级（下册）第117---118页例1、例2。

二、备课理念：

《新课标》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”结合《新课标》的要求，教学中力求发挥学生的主体地位，让他们动脑、动手、合作探究，经历分析、思考、解决问题的全过程，体会植树问题这一重要的数学思想方法。根据学生的实际情况，我们的备课理念：以问题情境为载体，以认知冲突为诱因，以数学活动为形式，使学生经历生活数学化，数学生活化的全过程，从中学到解决问题的思想方法。

二、    教材分析：

“植树问题”是人教版四年级下册“数学广角”的内容，教材将植树问题分为几个层次：两端都栽、两端不栽、环形情况以及方阵问题等。由于路线不同、植树要求不同，路线被分成的段数和植树棵数之间的关系就不同。现实生活中类似的问题还有很多，如安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵、锯木头、走楼梯等等。其侧重点是：在解决植树问题的过程中，向学生渗透一种在数学学习上、研究问题上都很重要的数学思想方法——化归思想，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律解决生活中的一些简单实际问题，同时使学生感悟到应用数学模型解题所带来的便利。本课的教学，并非只是让学生会熟练解决与植树问题相类似的实际问题，而是把解决植树问题作为渗透数学思想方法的一个学习支点。借助内容的教学发展学生的思维，提高学生一定的思维能力。

四、学情分析：

著名心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”小学生以具体形象思维为主，他们对数学的理解是从动手操作开始的。因此，开放“间隔的长度”为学生提供多次体验的机会，通过小组合作的形式进行探索，让每个学生动脑、动手、合作探究，经历分析、思考、解决问题的全过程。把几个类似的问题放一块研究，容易在解决过程中发现问题中隐含的规律，为理解植树问题中棵数与间隔数之间的关系提供了思维建构的支架。四年级学生仍以形象思维为主，但抽象思维能力也有了初步的发展，具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的数学活动经验。这部分内容放在这个学段，说明这个内容本身具有很高的数学思维和很强的探究空间，既需要教师的有效引领，也需要学生的自主探究。

五、确定教学目标：

基于对教材的理解和学生知识水平的分析，我将本节课的教学目标定位为：

（一）、知识与技能方面：

1．利用学生熟悉的生活情境，通过动手操作的实践活动，让学生发现间隔数与植树棵数之间的关系。

2．通过小组合作、交流，使学生能理解间隔数与植树棵数之间的规律。

3．能够借助图形，利用规律来解决简单植树的问题。

（二）、过程与方法方面：

1．进一步培养学生从实际问题中发现规律，应用规律解决问题的能力。

2．渗透数形结合的思想，培养学生借助图形解决问题的意识。

3．培养学生的合作意识，养成良好的交流习惯。

（三）、情感态度与价值观方面

通过实践活动激发学生热爱数学的情感，感受日常生活中处处有数学、体验学习成功的喜悦。

六、确定教学重点：

让学生探究发现一条线上植树问题的规律，经历数学建模的过程，体验“化繁为简”的解题策略和数学思想方法。

七、确定教学难点：

灵活运用植树问题的规律解决生活中的各种实际问题。

八、确定教学思路：

(一)引入部分

观点1：通过学生感兴趣的猜谜语活动入手，提升学生学习的积极性。逐步引导学生去观察自己的手，发现手指之间有间隔，以及手指数与间隔数之间的关系。接着又让学生在熟悉的生活环境中找相似的现象，还有哪些地方有这样的间隔，加深学生对间隔的认识。

观点2：创设情境，提出问题。通过创设在公路中间绿化带中植树的现实问题情境，提出“共需多少棵树苗的问题”。引导学生通过画图实际种一种去检验，通过模拟种学生体验到一棵一棵种到1000米太麻烦了，于是老师介绍研究复杂问题的方法：遇到复杂问题想简单的，从简单问题入手去研究。（把1000米改为10米）

观点3：谈话导入，师：同学们，你植过树吗？植树能绿化环境，造福人类。在生活中，常常遇到在路的一边、间隔一定的距离植树，这就需要计算准备多少棵树苗。还有许多类似的问题：比如在公路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵等等，在数学上，我们把这类问题统称为“植树问题”。

观点4：同学们已经四年级了,在学校里做操,上体育课都少不了要排队,老师要请三位同学到前面按照老师的要求排队。面向老师排成一路纵队，相邻两位同学之间间隔1米。间隔就是距离，它可以是人与人之间的距离，也可以是人与物，物与物之间的距离……，这就是间隔。在现实生活中，我们常常会遇到像同学们站队这样与点和间隔有关的问题，数学家把这类问题统称为植树问题，这节课我们就一起研究和解决一些简单的植树问题。

（二）新授部分

观点1：

引导探究，发现“两端要种”的规律

1． 创设情境，提出问题。

①课件出示图片。

介绍：这是我县新修的一条公路。公路中间有一条绿化带，现在要在绿化带中种一行树，怎么种呢？

出示题目：这条公路全长1000米，每隔5米种一棵树（两端要种）。一共需要多少棵树苗？

②理解题意。

a. 指名读题，从题中你了解到了哪些信息？

b. 理解“两端”是什么意思？

指名说一说，然后师实物演示：指一指哪里是这根小棒的两端？

说明：如果把这根小棒看作是这条绿化带，在绿化带的两端要种就是在绿化带的两头要种。

③算一算，一共需要多少棵树苗？

④反馈答案。

方法一：1000÷5=200（棵）

方法二：1000÷5=200（棵）  200 +2=202（棵）

方法三：1000÷5=200（棵）  200 +1=201（棵）

师：现在出现了三种答案，而且每种答案都有不少的支持者，到底哪种答案是正确的呢？咱们可不可以画图模拟实际种一种？如果从图上一棵一棵种到1000米，数一数，是不是就能知道到底谁的答案是正确的了呢？

2. 简单验证，发现规律。

①画图实际种一种。

课件演示：我们用这条线段表示这条绿化带。“两端要种”，我们从绿化带的这头开始，先在头儿上种上一棵，然后隔5米再种一棵，再隔5米再种一棵，再隔5米再种一棵，照这样一棵一棵的种下去……

师：大家看，已经种了多少米？（45米）这么长时间才种了45米，一共要种多少米？（1000米）要一棵一棵一棵一直种到1000米呀？！同学们，你有什么想法？（太累了，太麻烦了，太浪费时间了）

师：老师也有同感，一棵一棵种到1000米确实太麻烦了。其实，像这种比较复杂的问题，在数学上还有一种更好的研究方法，大家想知道吗？这种方法可不是一般的方法。大家听好喽，这种方法就是：遇到比较复杂的问题先想简单的，从简单的问题入手来研究。比如：1000米的路太长了，我们可以先在短距离的路上种一种，看一看。大家想不想用这种方法试一试？

②画一画，简单验证，发现规律。

a. 先种15米，还是每隔5米种一棵，画图种一种，看种了多少棵？比一比，看谁画得快种的好。（板书：3段 4棵）

b. 跟上面一样，再种25米看一看，这次你又分了几段，种了几棵？（板书：5段 6棵）

c. 任意选择一段距离再种一种，看这次你又分了几段，种了几棵？从中你发现了什么？

（板书： 2段 3棵；7段 8棵；10段 11棵。）

d. 你发现了什么？

小结：你们真了不起，发现了植树问题中非常重要的一个规律，那就是：

（板书：两端要种：棵树=段数+1）

③应用规律，解决问题。

a. 课件出示：前面例题

问：应用这个规律，前面这个问题，能不能解决了？那个答案是正确的？

1000÷5=200 这里的200指什么？

200 +1=201 为什么还要+1？

师：这个“秘方”好不好？

通过简单的例子，发现了规律，应用这个规律解决了这个复杂的问题。以后，再遇到“两端要种”求棵树，知道该怎么做了吗？

b. 解决实际问题

运动会上，在笔直的跑道的一侧插彩旗，每隔10米插一面（两端要插）。这条跑道长100米，一共要插多少面彩旗？(学生独立完成。)

问：这道题是不是应用植树问题的规律解决的？

师：看来，应用植树问题的规律，不仅仅能解决植树的问题，生活中很多类似的现象也能用植树问题的规律来解决。

小结：刚才，我们应用发现的规律，解决了一个实际问题。我们已经知道，“两端要种”求棵树用段数+1;如果“两端不种”棵树和段数又会有怎样的关系呢？

合作探究，“两端不种”的规律

1． 猜测“两端不种”的规律。

猜测结果是：两端不种：棵树=段数－1

师：到底同学们的猜测是不是正确呢？我们还是用前面学习的方法，举简单的例子画一画，种一种。

要求：每人先独立画一段路种种看；然后4人一组进行交流。你们组发现了什么规律？

2． 独立探究，合作交流。

3． 展示小组研究成果，发现规律，验证前面的猜测。

小结：同学们太了不起了，通过举简单的例子，自己又发现了“两端不种”的规律：棵树=段数-1。如果“两端不种”求棵树，你会做了吗？

合作探究，“一端不种”的规律

观点2：

1．动手操作、探究问题

（1）师：下面就让我们先一起来看这样一道植树问题。

出示问题1：同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一课树（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？

（2）审题：谁来读一读题目。从题中你了解到了哪些信息？“两端要栽”什么意思？

（3）动手操作，独立思考。

 师：下面请同学先动手“植一下树”，可以画图或摆棋子的方法来试一试，一共需要多少棵树。（学生操作、思考、教师巡视）

（4）小组交流。

师：请你在四人小组内交流一下，一共需要多少课树苗？你是怎样想的？

（5）集体讨论。

 师：谁来代表你们小组，说说你们的答案是多少？你们是怎样想的？你能在黑板上来“种一种”吗？

 师：知道了一共需要5棵，那么，算式该怎样表示？

 板书：20÷5+1=4+1=5（棵）

 师：20÷5表示什么？相当于什么数量？（间隔数）

 师：为什么还要加1？（因为两端都要种，所以棵数比间隔数多1）

 师：如果每隔4米种一棵，那么需要多少棵树？每隔2米种一棵呢？

        20÷4+1=5+1=6（棵）     20÷2+1=10+1=11（棵）

（4）建立模型：

师：谁来概括一下，两端都种时，种树的棵数和间隔数有着怎样的数量关系？

        板书： 棵数= 间隔数+ 1=全长÷间距+1

学生开始动手画图、填表、比较分析，然后展示他们的研究结果。

师：同学们通过用画线段图的办法研究，发现在小数据中两端都种的情况下，都有“棵数比间隔数多1”的规律。

看来，画线段图确实能帮助我们清晰地分析数量关系，这是数学上常用的一种好方法。

师：“棵数比间隔数多1”的规律是同学们用较小的数据研究出来的，如果数据增大，这个规律还成立吗？（让学生思考回答）

师：能解决较长的一段路的植树问题吗？

45千米＝45000米        45000÷5＝9000（段）

9000＋1＝9001（棵）     9001×2＝18002（棵）

2、发现规律

师：如果只有一端种，另一端不种，那么棵数和间隔数的关系怎样？

板书： 棵数= 间隔数=全长÷间距       

师：如果两端都不种，那么棵数和间隔数的关系怎样？

     棵数=  间隔数 – 1=全长÷间距-1

师：在实际生活中，两端都种、只种一段和两端都不种三种情况都存在，我们必须仔细审题，弄清是哪一种情况。今天，我们主要研究的是两端都种的植树问题。

（三）巩固练习部分

观点1：

应用规律，解决问题。

师：在我们生活周围存在许多类似的植树问题，请仔细想一想，哪些问题可以用植树问题的方法来解决。（比如：栽花、排队、走楼梯、锯木头等）

1、解决建设路的植树问题

在全长1000米的建设路一边植树，每隔10米栽一棵树（两端都栽），一共需要多少棵树苗？

（在全长1000米的建设路两旁安装路灯，两端都要安装，每隔10米安装一盏路灯，一共需要多少盏路灯？）

（过渡语：为了方便人们行走，我觉得还应该给建设路安装一些路灯，能用我们今天所发现的规律去解决吗？为什么？）

2、解决建设路的路灯安装问题

在全长1000米的建设路一边安装路灯（两端都要安装），如果要安装21盏路灯，那么每隔多远安装一盏路灯？

 （过渡语：在我们生活中存在着很多类似植树问题的现象，你发现了吗？让学生举例说说生活中类似植树问题的其他问题）

3、做课间操时，10名学生站成一排，每两个同学之间相距2米，那么从排头到排尾一共有多少米？

（过渡语：在我们生活中，不仅物体与物体之间有间隔，时间与时间也有间隔。）

4、广场上的大钟5时敲响5下，8秒敲完。12时敲12下，需要多长时间？

观点2：

回归生活，实际应用

1． 一根木头长8米，每2米锯一段。一共要锯几次？（学生独立完成。）

8÷2=4（段）

4—1=3（次）

问：为什么要—1？这相当于今天学习的植树问题中的那种情况？

2． 我们身边类似的数学问题。

①看，这一列共有几个同学？（4个）如果每相邻两个同学的距离是1米，从第1个同学到最后一个同学的距离是多少米？如果这一列共有10个同学呢？100个同学呢？

②这一列还是4个同学，如果每相邻两个同学之间的距离是2米，从第一个同学到最后一个同学的距离是多少米呢？

3．在一条路的一侧种树，每隔6米种一棵，一共种了41棵树。从第1棵树到最后一棵树的距离是多少米？

执教者整理教案