“水头三小、水头四小教学共同体”教研（数学）安排表
时间	内容	负责	参与	备注
2022.5.26	袁思满《鸡兔同笼》展示课	庄天然	水头四小数学组
2022.5.26	庄天然《鸡兔同笼》评课	庄天然	水头四小数学组

 

鸡兔同笼

【学习内容】四年级下册第九单元第1课时

【教材分析】

“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。教材在本单元安排“鸡兔同笼”问题，主要运用“假设法”培养学生的逻辑推理能力。“假设法”是一种算术方法，有其独特的特点，是一个假设——计算——推理——解答的过程。假设法有多种思路，除假设笼子里都是鸡或者都是兔的方法外，阅读材料中的抬腿法也是假设法的一种。每种思路还可以附以形象的解释，如让所有的兔子都抬起两只前脚，实际上就是把笼子里的动物都看成鸡。当然，还可以假设鸡也有4只脚，把笼子里的动物都看成兔子。

【学情分析】

“鸡兔同笼”问题是我国古代著名数学趣题，容易激发学生的探究兴趣。列方程解答此类问题数量关系直观易懂，要加以提倡“假设法”对学生来说比较陌生，教学中要抓住其特点，讲解算理，让学生逐步掌握，根据具体问题引导学生分析理解，拓宽学生思维。                                                

【学习目标】

1、了解鸡兔同笼问题，感受古代数学问题的趣味性。

2、经历尝试用不同方法解决“鸡兔同笼问题”，体会解决问题策略的多样性，提高解决实际问题的能力。

3、在解决问题的过程中，通过自主探索、合作交流，培养合作意识和逻辑推理能力。

4、体会数学问题在日常生活中的应用，进而体会数学的价值。

【学习重难点】

用假设法来解决鸡兔同笼问题。

【教学过程】

一、新课导入

1、引入课题

同学们，你们知道《孙子算经》这本书吗？这本书是我国古代数学名著，里面有许多有趣的数学问题，今天我们来研究其中一道有趣的问题，这个问题与两种动物有关。（鸡和兔）你能用数学的语言说一说鸡和兔各有什么特点？

预设：鸡，一个头，两条腿；兔，一个头，四条腿。

现在让我们看看鸡和兔之间能产生怎样的数学问题呢？请看！

“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”

2、原题释义

古人真是惜字如金，这说的是什么意思呀？

3、引出课题

今天这节课我们就一起研究鸡兔同笼的问题。

4、化繁为简

这个问题与我们平常研究的问题比起来怎么样？那我们就从简单的情形入手，看看能否找到问题解决的方法。

【设计意图：从我国的数学名著导入，让学生感受我国传统的数学文化。“鸡兔同笼”问题是我们生活中经常会看到的数学趣题，可以激发学生的学习兴趣。考虑到《孙子算经》中原题的数据较大，首先从例题中的简单问题开始研究。】

二、尝试探究

1、从8个头开始探究

笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有8个头。

鸡可能有几只？兔可能各有几只呢？

尽管他们猜的鸡和兔的只数各不相同，但每组数据背后都隐藏着一个不变的数，你知道吗？为什么是8？

鸡和兔的只数还有其他可能吗？有这么多猜测，那怎么清晰地整理出你们说的这些可能呢？能按照一定的顺序说一说吗？

 

 

 

只知道头数，能具体确定两种动物的数量吗？

2、从26条腿切入

    那想知道两种动物分别几只，还需要知道什么呢？

笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有8个头，从下面数有26条腿。

现在你能确定两种动物的具体数量了吗？拿出学习单，请你在学习单一上试一试！

3、交流汇报

    说说你的结论！3只鸡5只兔是26条腿吗？能用算式说明吗？

你是一下子就锁定答案的吗？同学们都是从哪种情形开始思考的？

预设：假设鸡和兔各有4只

那么它们的腿就是24条，差了2条腿。所以把1只鸡换成1只兔，就是3只鸡5只兔。3只鸡5只兔刚好是8个头，26条腿。

追问：24条腿是怎么来的？为什么变成3只鸡5只兔了呢？怎么不变成5只鸡3只兔呢？同学们都是从4只鸡4只兔的情形开始思考的吗？

预设：我们从1只鸡开始假设

1只鸡，7只兔，共30条腿，比26条腿多了。于是我们增加1只鸡，减少1只兔；2只鸡，6只兔，共28条腿，还是多了。于是我们再增加1只鸡，减少1只兔；3只鸡，5只兔，正好是26条腿。

预设：我们从7只鸡开始假设

7只鸡，1只兔，共18条腿，比26条腿少了。接着6只鸡，2只兔，共20条腿，还是少了。继续减少鸡的数量，增加兔的数量。5只鸡，3只兔，22条腿。4只鸡，4只兔，24条腿。最后3只鸡，5只兔，26条腿，刚好！

4、方法小结

其实无论从哪里开始假设，只要根据条件不断作出调整，最后都能找到正确的答案。

5、深入思考

（1）正向观察

从左到右观察我们所列的表格，你有什么发现？

预设：兔子每增加1只，鸡就会减少1只，腿的总数就会增加2条。

减少1只鸡，增加1只兔，就是把1只鸡换成1只兔，腿的数量自然就会增加2条。

（2）反向观察

反过来，从右到左观察呢？你又有哪些发现？

把1只兔换成1只鸡，腿数就减少2。

（3）简单应用

刚刚发现的规律里面其实还藏着一个小秘密，我们来看，在鸡兔同笼的情况下，鸡和兔的总数是固定的，要想改变腿的数量，怎么办？

（将鸡换成兔，或者兔换成鸡）

如果要增加6条腿，你有什么好办法？（把3只鸡换成3只兔）

如果要增加8条腿呢？把4只鸡换成4只兔怎么算的？8÷（4-2）＝4（只）

如果要减少10条腿呢？把5只兔换成5只鸡，10÷（4-2）＝5（只）

看来同学们已经发现了隐藏在鸡和兔腿数之间的秘密。

【设计意图：通过列举解决问题，把符合问题的所有可能答案逐个找出，并用某种形式进行整理，从而得到问题的答案。列举是一种朴素的思想方法，又是一种实用的解决问题的策略。学生在刚接触“鸡兔同笼”问题时，对列式计算往往感到困难。但是，对于数据较小的问题，一些可能的答案却很容易凭经验或直觉得到，可以运用猜测、验证的方法，实际上就是用列举法来解决问题。学生一般用顺序列举法，按从大到小或从小到大依次列举，可以有效避免疏漏或重复。当然也有中间开始根据实际情况向两头依次列举的。列举法常常借助于列表来及时记录每一种可能的结果。】

（4）回归假设

    这个秘密对我们解决问题有什么帮助呢？

假设鸡和兔各有4只，那么它们的腿就是24条，差了2条腿。

差了2条腿怎么办？1只鸡换1只兔！3只鸡5只兔。

有同学从1只鸡开始假设，1只鸡，7只兔，共30条腿，多了4条腿。

多了4条腿怎么办？减少！2只兔换2只鸡！3只鸡5只兔。

还有同学从7只鸡开始假设，7只鸡，1只兔，共18条腿，少了8条腿。

少了8条腿怎么办？增加！4只鸡换4只兔！3只鸡5只兔。

看来这个秘密帮助我们提高了解决问题的效率！

选择其中一种情况列式！

这个过程还可以用数学的语言来表达。

假设有7只鸡，1只兔

共有7×2＋4＝18(条)

少了26－18＝8(条)      与实际比较少了8条腿，怎么办？添腿，把鸡换成兔子。

换兔8÷(4－2)＝4(只)      要换几只呢？8里面有4个2。（4－2）是什么意思？

1＋4＝5(只)…兔

8－5＝3(只）…鸡

（5）完善假设                       

既然都是假设，都要调整，干脆假设全是鸡，可以吗？

假设全是鸡，共有？（16条腿）少了？（10条）怎么办呢？

你能把这个过程用算式的语言表达出来吗？试试看!

列式

假设全是鸡

8×2＝16(条)

少了26－16＝10(条)       与实际比较少了10条腿，怎么办？添腿，把鸡换成兔子。

10÷(4－2)＝5(只)…兔     要换几只呢？10里面有5个2。（4－2）是什么意思？

8－5＝3(只）…鸡           把1只鸡换成1只兔增加的腿数。

画图

一年级小朋友也能解决鸡兔同笼问题，你知道他们是怎样解决的吗？

 

 

假设8只都是鸡，这样腿就有16条。

仔细观察和哪条算式一样？8×2＝16(条)，

这比实际的26条少了10条。26－16＝10(条)

我们知道在鸡的基础上添加2条腿换成兔子，10条腿2条1份，刚好分给5只鸡。

（1只鸡换1只兔，可以增加2条腿。10条腿，只要把5只鸡换成5只兔。）

为什么要添加腿呢？为什么要2条2条地加呢？

添加2条腿其实是把1只鸡？换成1只兔子！

那为什么要换5只鸡那么多呢？

10÷(4－2)＝5(只)…兔

所以是5只兔，3只鸡。

看来画图的方法也能解决这个问题！

【设计意图：画图在小学生的数学学习过程中是一个十分必要也相当有用的办法，学生在动手绘图的过程中能够逐渐领悟解题思路，在一定程度上拓展想象空间，从而体会的掌握其中的数学思想。】

拓展

假设全是鸡，我们很快得到了答案，那还可以？假设全是兔！同桌合作，一个画图，一个列式，请你在学习单三上试一试！

 

 

假设全是兔

8×4＝32(条)

多了32－26＝6(条)          这6是什么？假设全是兔多出的腿，腿多了怎么办？

6÷(4－2）＝3(只)…鸡       把1只兔换成1只鸡可以？要减少6条腿，需要？

8－5＝3(只)…兔   

【设计意图：利用“数形结合”，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，使问题化难为易、化繁为简，激发学生学习兴趣。同时借助于形象的图形来解题，对于初次接触此类问题的学生来说，不仅学得有趣、简单，而且能加深学生对用假设法解题的理解，发展学生的思维能力。】

反思                          

仔细观察这两种列式的方法，你有什么发现？

都是假设法，只是一个假设全是鸡，一个假设全是兔，一个是腿的数量不够，添加腿，把鸡换成兔子。一个是腿的数量多了，减少腿，把兔子换成鸡。最终都解决了问题。

相同之处：鸡与兔的腿数之差都是2。不管是增加2条腿还是减少2条腿，都表示鸡与兔的腿数之差是2。

这两种方法，也是假设法，看来刚才的假设还不够完整，现在我们把这两种也放进去。

这节课，我们用了哪些方法解决问题？(画图、列表、列式)

这些方法有一样的地方吗？先假设，再调整。

【设计意图：由浅及深的数学思想方法之间存在着层层递进、由具象到抽象、由低级往高级发展的关联。粗看之下，“猜想、列表、画图”显得幼稚，似乎很“笨”，而且一旦头和脚的数量增多，画图的局限性就凸显出来了。然而，这些略显笨拙的解题法作为小学生学习数学思想的必然过程却是必不可少的，这些“笨”办法，为后面的假设、建模等奠定了基础。学生需要通过这样循序渐进的教学方法化繁为简，明白所谓的“笨”办法与后面精炼简洁的数模之间其实有着千丝万缕的联系，从而了解“数学思想之间并非孤立存在”的深刻内涵。】

三、巩固练习

现在，你准备用哪种方法来解决《孙子算经》原题呢？

数据较大，画图、列表容易受到数据大小的影响，都不合适，列式计算较为合适。

同桌合作，一个假设全是鸡，一个假设全是兔，马上开始。

假设全是鸡                              假设全是兔

2×35＝70(条)                           4×35＝140(条)

少了94－70＝24(条)                     多了140－94＝46(条)

24÷(4－2)＝12(只)…兔                  46÷(4－2)＝23(只)…鸡

35－12＝23(只）…鸡                     35－23＝12(只)…兔

同学们真厉害，已经能够解决《孙子算经》中的问题了。

【设计意图：鸡兔同笼”中蕴涵了丰富的数学思想，“这些思想方法都极具价值，教透了任何一种，都能够有效地促进学生数学思维的发展和数学技能的提升。】

四、方法拓展

你知道古人是怎样解决“鸡兔同笼”问题的吗？

明朝的数学爱好者程大位将鸡兔同笼问题收录在《算法统宗》一书中，书中给出了鸡兔同笼的两种解法。（1）倍头，减足，折半是兔. （2）四头，减足，折半是鸡。

同学们看懂了吗？同桌互相对照刚才的解题过程，再看一看！

其实这就是我们刚才所用的假设法！

《孙子算经》中给出的是什么方法呢？同学们想知道吗？

1、减半法

假如让鸡抬起一条腿，兔子抬起两条腿，还有94÷2＝47条腿。

1只鸡1条腿，1只兔2条腿。笼子里只要有1只兔子，腿的总数就比头的总数多1。

这时，腿的总数与头的总数之差47－35＝12，就是兔子的只数。

 2、抬腿法

后来还有人用吹口哨法解决这个问题。

假设这些鸡和兔都接受过训练，每吹一次口哨就抬起一条腿。

先吹一次，所有鸡和兔都抬起一条腿，剩下94－35＝59条腿。

再吹一次，所有鸡和兔又抬起一条腿，剩下59－35＝24条腿。

现在我们会发现鸡的两条腿全部抬起，坐在地上了，剩下的腿全是兔子的腿了。每只兔子只剩2条腿，所以24÷2＝12只兔子，35－12＝23只鸡。

3、代数的方法

等到后面学习了方程，同学们还可以利用设元的方法解决这个问题。

一元：设鸡有x只，则兔有(35－x)只。2x＋4(35－x) ＝94

二元：设鸡有x只，兔有y只。  x＋y＝35

                               2x＋4y＝94

【设计意图：“授人以鱼不如授人以渔。”这句话道出了培养数学模型思想的重要性。 中国传统数学名题正是为数学模型的发展提供了这样一个平台。数学名题中渗透的数学思想、数学名题本身的模型作用都可以让学生在潜移默化中逐步感受、领悟和掌握。】

五、课堂小结

今天这么多解决问题的方法都离不开假设。

同学们能说说今天这节课你的收获吗？

《鸡兔同笼》评课稿

“鸡兔同笼”问题蕴涵了丰富的数学思想，这些思想方法都极具价值，渗透了任何一种，都能有效促进学生数学思维的发展和数学技能的提升。为了方便研究，本课教学在学生遇到障碍时化繁为简，从8个头切入，再到26条腿，引导学生经历各种方法的研究过程，并通过评判讨论、对照比较，沟通方法间的联系，实现方法优化，重点掌握假设法（列式）。在这个过程中，核心的是尝试、探究、反馈和交流的环节。在这个环节里，学生完整地经历“假设—计算—推理—调整”的过程，从而体验假设的基本思路。

教学中，先让学生们用逐一列表法将表格补充完整，先让学生们观察表中腿数增减2的规律后，再让学生抓住表的上下两端进行深入分析，并在每个思考的步骤，让学生用列式来表达，使得后面学生能更加简便的使用假设法进行列式计算。以上教学，是以表格为基础，让学生先发现规律，再从表中抽象出来假设的算理，联想表格做假设。

但教学中，也出现了瑕疵，本节课的教学当中，没有充分的考虑学情，出现内容丰富，但学生“吃”不下去的情况，在第一环节中就磕磕绊绊的进行下去，可以将鸡兔数据的分析和画图结合，而不是将画图放在后面进行结合，让学生能更好的理解，对于好的学生这节课是进行了巩固和拓展，但对于大部分中等及中等偏下的学生而言，这节课就是随波逐流，所以可以将图表两项进行结合，让学生能明白其中的奥妙。

 

 

 

教研组活动记录表
时  间	2022.5.26	地  点	录播教室	项目主持人	庄天然
主  题	袁思满汇报课
简  要  过  程
一、主持人发言 二、袁思满老师上课 三、庄天然作评课报告 四、集体讨论交流
活动反思 及建议	考虑到不同的学情，要有不同的教学策略，所以课前的学情调查也是相当必要的。鸡兔同笼问题的解决方法有很多，一定给学生充分的思考空间，在不同方法的比较中才能体现假设法的优越性，教师不要过早的介入，否则无法深刻理解假设法的逻辑，如果有了其它方法的铺垫，那假设法的理解就轻松很多，必然会更牢固。
过程确认	科研负责人签字：庄天然