样本数据：1995年1月3日开始的4209个交易日的日收益率数据，包括sp500指数、沪指两种

比较方法：

1.计算出4210个样本值的均值和标准差，在收益率服从正态分布假设下，根据正态分布概率表计算各种小概率事件的Z值并得出相应的收益率上限极值和下限极值

2.根据上限极值和下限极值计算出实际的发生在极值外的总次数，比较二者的差异

比较数据如下：

http://s16/middle/743ff605tc6043217079f&690

http://s11/middle/743ff605tc604329c17fa&690

比较结论：

1.从以上数据可以看出，正态分布假设下1%的小概率事件（即大涨超过某个幅度或大跌超过某个幅度）实际上发生的比例在2.45%以上，正态分布假设下千分之一的小概率事件实际上发生的比例在1.2%以上，居然超过了理论值10以上，更恐怖的是五倍标准差事件（正态分布下概率为千万分之三）在正态分布假设下4209个样本中发生的概率趋近于0，但实际分别发生了9次（沪指）和13次（sp500）。

2.以上数据其实就是我们常说的市场存在肥尾的具体表现。认识到肥尾现象对于风险控制非常的重要。前几天有个朋友一直纠结于为什么长期资本公司的模型能够前几年表现很好和98年倒闭，下面我就接着回答这个问题谈一下我对肥尾现象相应的风险控制的调整的认识：

长期资本公司很主要的一项业务就是高低息债券之间的价差套利。一般随着风险偏好度的不同高低息债券之间的价差在一个相对稳定的幅度内上下波动。长期资本公司的2个诺贝尔经济学家得主都是正态分布假设的重视拥趸，其中一位还发明了有名的期权定价公式，自然，他们会带着自己的学术信仰来分析高低息债券之间的差价波动，他们认为这个价差近似服从正态分布，价差存在均值回归现象。当价差因为一些偶然因素扩大到一个较大的幅度后价差在以后的时间内回落到正常值内是大概率，那么这其中就存在套利机会。比如价差到了2个标准差之外，按照正态分布的假设，价差在2个标准差之外的概率低于5%，也就是说有95%以上的可能性价差会在随后的日子里慢慢回复到正常范围内，我们就可以做空价高的做多价低的赌二者价差的缩小。这种简单的套利模式在华尔街从80年代开始流行，当时因为IT技术的限制，没几个公司有这个IT实力做这个，有实力的少数几个公司因为这个策略赚了不少钱。但慢慢的，随着IT技术的发展及这个策略的流传，用这个策略的公司越来越多，导致好的套利机会越来越少。为了继续保持有吸引力的投资回报，很多公司不得不加大了资金杠杆。长期资本公司在97年底的杠杆比例为25：1，98年最疯狂的时候达到了45：1.

98年随着亚洲金融危机的进一步恶化，西方政府及新兴市场的债券价差大幅拉大。我们说了，正态分布假设下价差是存在均值回复的，比如如果我们观察到西方政府及新兴市场的债券价差到了2倍标准差以上的小概率事件了，那么在正态分布假设下价差进一步扩大的概率就很小了，于是，长期资本公司就入场做空西方政府的债券做多新兴市场的债券，来赌价差的回归。用多大的杠杆呢？那就做个计算，比如5倍标准差在正态分布假设下在几十年的交易内发生的概率都趋近于0，比人意外死亡的概率还低，ok，那就按照这个标准吧，就按照这个用足所有的杠杆。只要仓位保证价格不超过5倍标准差下临时亏损不会爆仓，就可以一直坚持下去赌价差回落到正常范围内而获利。（这个2倍和5倍是我自己举例的数字，不代表长期资本的入场标准和仓位标准。我估计实际上他们的标准要比这个低,尤其是后者）

问题就来了，我们通过沪指和sp500的统计数据来看，五倍标准差事件是会发生的，而且频率还不低，大约2年就可能有一次。债券的五倍标准差事件的历史频率是多少，由于我没有数据，无法计算，但肯定比正态分布假设下的千万分之三大很多很多倍。长期资本公司在98年夏天就赶上了这个5倍标准差事件，那就是随着1998年8月17日俄罗斯政府宣布卢布贬值宣布冻结281亿卢布(135亿美元)的国债，诸多新兴市场的资信严重恶化。紧接着，西方政府及新兴市场的债券价差不仅没有出现理论上的缩小，反而大幅拉大，直到5倍标准差外。这导致银行开始担心长期资本公司的交易保证金不足，督促补充资金。没有钱的长期资本公司去试图找高盛融资，高盛不仅不给钱，反而利用这个机会落井下石，带头拉高西方政府债券砸低新兴国家债券，其他知道这一消息的公司也纷纷落井下石一起拉高价差，他们的目的很简单，让价差进一步落大逼长期资本公司砍仓来获取暴利（因为长期资本公司的仓位非常重，同时当时市场流动性不够，如果长期资本公司平仓会进一步拉高这个价差），长期资本公司就这么被整倒闭了。

以上便是正态分布假设下忽视长尾风险导致长期资本公司倒闭的数学分析。至于那个朋友纠结的为什么这个模型在前几年是正确的呢？因为即使有肥尾现象，远离于标准差的事件绝对发生的概率还是很低的，拿我们测试的沪指和标普而言，沪指的5倍标准差事件的频率为0.2%，标普的为0.3%，债券的应该更低，两三年内没有发生5倍标准差事件是正常的，只要没有发生超大的标准差时间导致爆仓（类似于普通交易只止盈永不止损下胜率很高很高但一旦败了就爆仓），价差回落到范围内就盈利了。

即使我们不赌价差回归，在用正态分布假设去评估一个交易模型的预期收益和风险时也是有风险的。因为如果市场的收益率不服从正态分布，我们也无法认定一个交易模型的收益率服从正态分布。我测试了自己两个交易模型在橡胶和期指上的收益率分布，也是存在明显的尖峰和肥尾。我们知道夏普系数是用来综合衡量一个交易策略的收益和风险的，但是这个夏普系数的前提就是收益率服从正态分布而事实上，长期资本公司在倒闭前的夏普系数一直很不错。所以，我们在评估一个交易模型的预期收益和风险时，即使夏普系数很不错，也要注意这个肥尾风险，不可重仓。