以踢足球为例子作为博弈：

http://s3/mw690/737adf53h7b15c4d8dbd2&690responses的应用 & 迭代的BR" TITLE="博弈论(4)——Best responses的应用 & 迭代的BR" />

射门的收益就是进球的概率，相反守门员就是其进球概率的相反数。

明显这个没有优势策略，只能用BEST RESPONSE的方法解决，以守门员向右扑的概率为x轴，看看收益的期望：

http://s16/mw690/737adf53hced9bb1f796f&690responses的应用 & 迭代的BR" TITLE="博弈论(4)——Best responses的应用 & 迭代的BR" />从图中可以看出，踢中间在任何条件下都不是最佳对策。

Lesson：Do not choose a strategy that is never a BR to any belief.

当然现实中考虑到角度和准确度、力度的制约问题，真实的曲线应该如下：

http://s10/mw690/737adf53hced9caa69039&690responses的应用 & 迭代的BR" TITLE="博弈论(4)——Best responses的应用 & 迭代的BR" />因此大力抽射中间也是可以理解的了。

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下面给出BEST RESPONSE的定义：

定义：

http://s6/mw690/737adf53hced9e1e06b65&690responses的应用 & 迭代的BR" TITLE="博弈论(4)——Best responses的应用 & 迭代的BR" />即：s^i是BR的条件是：对于可能性p，

            收益ui(s^i,p)的期望>=收益ui(s'i,p)的期望，对所有s'i成立。

或者说s^i是使得ui（si，p）期望最大的解

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下面再举个合作的例子，这里的例子是连续非离散的注意

http://s12/mw690/737adf53hceda02bf39eb&690responses的应用 & 迭代的BR" TITLE="博弈论(4)——Best responses的应用 & 迭代的BR" />

收益中的s1与s2的乘积可以理解为合作增益，系数b是合作力度，减去的是成本。这是研究大锅饭下的协作问题。

其实对于参与人1来说就是要:

shttp://s7/mw690/737adf53hceda0b9b90b6&690responses的应用 & 迭代的BR" TITLE="博弈论(4)——Best responses的应用 & 迭代的BR" />
使其一阶导数为0，二阶导师为负即可。可解的：

http://s9/mw690/737adf53hceda120cd698&690responses的应用 & 迭代的BR" TITLE="博弈论(4)——Best responses的应用 & 迭代的BR" />

这里假设了b为1/4，画出了上述图形，我们可以看出对于s2的不同选择，对于s1的BR是[1,2]因此根据上面的Lesson，我们不应该选择[0,1]和[2,4]区间。对玩家2同理。这样无限循环下迭代剔除永远不可能是BR的区域，再剔除。。。最终会收敛到焦点处

http://s8/mw690/737adf53hceda2ab66c37&690responses的应用 & 迭代的BR" TITLE="博弈论(4)——Best responses的应用 & 迭代的BR" />

我们可以看出结果并不是高效的，原因是在分配方法。其实我们可以如下理解最终趋于焦点的事实。当双方都在点上的时候，双方都会坚持自己的选择，因为都是双方的BR，一旦偏离。由于双方都要求再BR上，无论谁调整都会导致向焦点靠拢。

这个现象就做纳什均衡

http://s2/mw690/737adf53hceda4e493761&690responses的应用 & 迭代的BR" TITLE="博弈论(4)——Best responses的应用 & 迭代的BR" />