每个可表示为4n+3的素数不能表示为两数平方和的形式,它可以采用同余式两边乘方然后用费马小定理获取证明;每个可表示为4n+1形式的素数可以表示为两数平方和的形式,它可采用威尔逊定理结合同余式的一些性质和方法获取证明.这里采用初等数学知识证明
下一个论断:每个表示为4n+1形式的素数只能表示为一种两数平方和的形式,即费马欧拉素数定理.证明:假定可表示为两组两数平方和的形式,即:P=a2+b2,P=c2+d2,则P2=(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2
=(ac-bd)2+(ad+bc)2,其中P为素数,a,b,c,d为各不相同的自然数.由(ac+bd)(ac-bd)=a2(c2+d2)-d2(a2+b2)=P(a2-d2),因P为素数,故前两个因子必有一个因子能被P整除,通过对P2那一等
式分析,只能是ac+bd=P,此时ad-bc=0,得c=ad/b,联系ac+bd=P=c2+d2,得a2d/b+bd=c2+d2,即d(a2+b2)=b(c2+d2),即d=b,这与题设矛盾,故原假定不成立.证毕.
以上证明漏掉一种情况:P2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,此时ad还是等于bc,经过化减,得d2(a2+b2)2/b2=P2,即d2=b2,得d=b,照样与题设矛盾.其它情况跟这两种情况相同.
附证明每个可表示为4n+1形式的素数可表示为两数平方和的形式:设素数为p,则(p-1)!=1*2*...*[(p-1)/2]*[p-(p-1)/2]*...*(p-2)*(p-1),展开上式,含因子p的项之和用pQ表示,则(p-1)!=
pQ+[(p-1)/2]!2.(此时(p-1)/2为偶数),令n=[(p-1)/2]!,由威尔逊定理:同余式(p-1)!+1余0(mod p),得n2+1余0(mod p),令x,y分别为小于根p的非负整数,我们看由nx-y组成的数,
设k为根p整数部分的值,则k+1>根p>k,由于x,y可取0,故可分别取k+1个数,由排列组合知识,nx-y组成的数共有(k+1)2个,显然它大于p,数除以p所得余数为(0,1,2,...p-1),至多p个,故必存在两个数组(x,y)使
nx-y除以p所得余数相同,故有同余式nx1-y1余nx2-y2,即n(x1-x2)余y1-y2,定x1>x2,可证y1,y2不相等,证略.令u=x1-x2,v=y1-y2,则根p>u>0,根p>|v|>0
则有同余式un余v(mod p),由n2+1余0(mod p),得u2n2+u2余0,再由un余v,得v2+u2余0(mod p),因2p>u2+v2,故p=u2+v2.证毕.