它是费马大定理的特殊形式;费马定理在1995年被怀尔斯得证,一般认为它不能用初等数学知识获证,这里介绍用初等数学知识证明它的这一特殊形式.我们先证明如下结论:x2+y2=z2(x,y,z互质,y为偶数,x,z为奇数)的充要条件是x=a2-
b2,y=2ab,z=a2+b2,(a,b互质,一奇一偶).证:由x2+y2=z2得y2=(z+x)(z-x),令z+x=2A,z-x=2B,则y2=4AB,z=A+B,x=A-B,我们证明A,B互质:若它们不互质,设它们公约数为k,令A=
kc,B=kd,则z=k(c+d),x=k(c-d),这与z,x互质矛盾,故A,B互质,又因y2=4AB,故A=a2,B=b2,a,b互质,故y=2ab,从而z2=a2+b2,x2=a2-b2.其它证明略.现在我们证明更强的结论:X4+
Y4=Z2没有正整数解:显然只需考虑X,Y,Z互质,Y为偶,XZ为奇.我们用无穷递降法,设有一组解(x,y,z),并且z是所有解中最小的.则(x2)2+(y2)2=z2,则x2=a2-b2,y2=2ab,z=a2+b2,由同余理论分析,a为
a为奇,b为偶,a,b互质.于是x2+b2=a2,从而再得x=p2-q2,b=2pq,a=p2+q2,得y2=2ab=4pq(p2+q2).
现在我们证明p,q,q2+p2两两互质:已知p,q互质,设p2+q2与p 或q 有公约数,譬如和p ,设p= kd,p2+q2=ke,k是它们公约数的一个质数,则q2=k(e-kd),由于q是整数,k 是质数,故e -kd 必有一因子k
,这样q 也有因子k,这与p,q 互质矛盾,故它们两两互质.则有p=r2,q=s2,p2+q2=t2,从而r4+s4=t2 即r ,s ,t也是原式的一组解.因t
小于t2,自然小于z ,这与z 最小矛盾,故原结论正确http://www/uc/myshow/blog/misc/gif/E___6715EN00SIGG.gif