欧几里得127、证明思路：设出满足条件最小量，找到更小值，得出矛盾

 

2017年3月30日，网友发表名为《如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？》的文章。

 

文章内容：

…

有发现上面的代数证明和几何证明之间的共同点吗？它们都是这样的一个思路：假设我已经是满足这个性质的最小的那个了，那么我就可以用一种方法找出更小的一个来，让你无限循环下去。数目越来越小，永无止境。严格的数学证明中你或许会看到这样一句话：“不失一般性，设n为最小的满足……”

…上面的代数证明：见《欧几里得116》…

…上面的几何证明：见《欧几里得124》…

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

…严、格、严格，不、失、不失，一、般、一般，一般性，不失一般性：见《欧几里得125、126》…

 

这种证明方法应用很广。比如，证明3^n不能表示为两个正整数的平方和。

…^：乘方…

…3^n：3的n次方…

 

假设存在一个最小的n使得x^2+y^2=3^n（x的平方+y的平方=3的n次方），那么x^2+y^2可以被3整除，于是x和y也应该能被3整除（一个正整数的平方除以3，要么除尽，要么余1）。

…证明：

 x^2+y^2可以被3整除

∴（x^2+y^2）/3=某整数

∴（x^2+y^2）/3=（x^2）/3+（y^2）/3=某整数

∴ x^2/3=某整数，x^2/3=某整数

即x·x/3=某整数，y·y/3=某整数

∴ x有质因数3，y有质因数3

即x和y能被3整除…

 

假如x=3p，y=3q，那么（3p）^2+（3q）^2=3^n，即9（p^2+q^2）=3^n，那么：p^2+q^2=3^（n-2）。这和n最小的假设矛盾。

…矛、盾、矛盾：见《欧几里得72》…

 

换句话说，你永远找不到最小的，你必须一直递归下去。

…递、归、递归：见《欧几里得124》…

 

 

接下来的两个证明才是我佩服的，真正的Very Simple & Very Tricky。

…Very（英语）：adv.（副词）很，非常…

…Simple（英语）：adj.（形容词）简单的；朴素的；易于理解的；易做的；简朴的；不加装饰的；（用在名词前表示强调）纯粹的，完全的，不折不扣的…

…Very Simple：非常简单…

 

＆这个符号叫什么？——网友提问

 

2019-07-25，是嘛10：&叫and。来源于拉丁语et （意为and）的连写，是一个逻辑语言，是指逻辑上表示两者属于缺一不可的关系，还表示意思是一个人和另外一个人之意，与and同义。如A&B，表示A与B，A和B，A×B。

 

是指逻辑上表示两者属于缺一不可的关系，还表示一个人和另外一个人之意，与and同义。如A&B，表示A与B，A和B，A×B。

 

字符&的最早历史可以追溯到公元1世纪，最早是拉丁语et （意为and）的连写。最早的&是e和t的合字，后来经过一些演变，形成了固定的合字，继而演变为符号。这个符号和古代一些西文字体的et连写几乎一样。

 

…Tricky（英语）：adj.（形容词）狡猾的；难办的；难对付的；诡计多端的…

 

下面的这个证明曾经是我最喜欢的关于无理数的存在性的证明，它实在是太神奇了。

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

假设（p/q）^2=2，那么p^2=2q^2。我们将要证明，一个数的平方等于另一个数的平方的两倍是根本不可能的。

如果对一个平方数分解质因数，它必然有偶数个因子（x^2的所有质因子就是把x的质因子复制成两份）。于是，p^2有偶数个质因子，q^2有偶数个质因子，2q^2有奇数个质因子。

等号左边的数有偶数个质因子，等号右边的数有奇数个质因子，大家都知道这是不可能的，因为同一个数只有一种分解质因数的方法（唯一分解定理）。

…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

 

这个证明还有一种更加神奇的变化。p^2和2q^2的质因子中，因子2的个数肯定是一奇一偶。那么它们转化成二进制后，末尾0的个数肯定也是一奇一偶。因此，这两个数不可能相等。

 

 

今天，我见到了一个更加简洁的证明。它就来源于哲牛介绍的那篇文章。

…哲牛：哲学方面很牛的人…

 

这个证明虽然与前面的证明有些类似，但它的简洁性足以让我打算写下今天这篇4000字的文章。

…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

 

看后我大为折服，这真的叫做the power of simple ideas in mathematics（数学中简单思想的力量）。

同样是证明不存在整数p、q，使得p^2=2q^2，这个证明只需要一句话：假如p、q是最小的正整数使得p^2=2q^2，看图，两个边长为q的小正方形放在一个边长为p的大正方形里，那么，图中深灰色正方形的面积就等于两个白色正方形面积之和（面积守恒）。于是，我们就找到了具有同样性质的更小的整数p和q。

仔细体会一下这个“面积守恒”，如果A+B=C，那么A和B重复计算了的必然是C里还没有算过的。很有意思。

 “范畴是一种抽象程度最高的命题结构性概念，是哲学及其逻辑系统中最重要、最核心的概念。有大量的具体范畴经过无数次的感知验证和理知推演，已经成为人类抽象思维成果中具有高度概括性、结构稳定的概念。例如：内涵、外延，合、分，关系（绝对/相对），姿态（独生态/众生态），独生态（主动/被动）、众生态（自由/专制），自由（自在/互联），状况（连续/离散），个性、集性，思维（具体/抽象），等等。

请看下集《欧几里得128、自、然、自然，现、象、现象，范、畴、范畴，哲学范畴》”

若不知晓历史，便看不清未来

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