欧几里得124、证明“存在不能表示为两个整数之比的数”，递、归、递归

2017年3月30日，网友发表名为《如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？》的文章。

文章内容：

…

有人觉得奇怪了：既然当时没有代数，古希腊人是怎么提出“所有数都可以表示为整数之比”的呢？

…代、数、代数：见《欧几里得36》…

…比：见《欧几里得27》…

其实古希腊人根本没有提出什么整数之比，这是后人的一个误解。当时毕达哥拉斯学派提出的，叫做“公度单位”。

…公、度、公度：见《欧几里得24》…

…单、位、单位：见《欧几里得116》…

两条线段的公度单位，简单的说就是找一个公度量，使得两条线段的长度都是这个公度量的整倍数（于是这个公度量就可以同时作为两条线段的单位长度并用于测量）。

…量：见《欧几里得27》…

寻找公度量的方法相当直观，就是不断把较长的那个线段减去短的那个线段，直到两个线段一样长。

熟悉数论的同学一下就明白了：这就是欧几里得的辗（zhn）转相除算法求最大公约数。

…数、论、数论，辗、转、辗转，算、法、算法，辗转相除算法：见《欧几里得119~123》…

第一次数学危机的根结就在于，古希腊人理所当然地相信不断地截取线段，总有一个时候会截到两个线段一样长。后来，Hippasus（通常译为希帕索斯）画了这么一张图，告诉大家了一个反例：有可能这个操作会无穷尽地进行下去。

…第一次数学危机：见《欧几里得15》…

…希帕索斯：见《欧几里得17》…

现在看他怎么解释“在图中的BC和BD之间进行辗转相除为什么永远不能停止”：把BD减去BC，剩下一段DE。以DE为边做一个新的小正方形DEFG，那么显然DE=EF=FC（EDF为等腰直角且BEFBCF）。

接下来我们应该在BC和DE间辗转相除。

BC就等于CD，CD减去一个DE相当于减去一个FC，就只剩下一段DF了。

现在轮到DE和DF之间辗转相除，而它们是一个新的正方形的边和对角线，其比例正好与最初的BC和BD相当。

…比、例、比例：见《欧几里得29》…

于是，这个操作再次回到原问题，并且无限递归下去。

…递：繁体汉字见上图。

形声。从辵（chuò），虒（s）声。本义：轮流；交替。

字义：1.传送；传递：～送。投～。请把钳（qián）子～给我。

2.顺次：～增。～减…

[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]

…归：见《欧几里得38》…

…递归：一种计算过程。如果其中每一步都要用到前一步或前几步的结果，称为递归。

程序调用自身的编程技巧称为递归（ recursion）。递归做为一种算法在程序设计语言中广泛应用。一个过程或函数在其定义或说明中、有“调用自身”这种方法，它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解。递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合…

“一说起递归，我想每个人都不陌生。”中学生说。

“举个从小就听过的例子：从前有座山，山里有座庙，庙里有个和尚，和尚在讲故事，从前有座山，山里有座庙，庙里有个和尚，和尚在讲故事，从前有座山…”中学生接着说。

…

最后的结论用我们的话说就是，不存在一个数x使得BC和BD的长度都是x的整倍数。于是，BD/BC不能表示为两个整数之比p/q（否则BD/p=BC/q=x，于是就有了x，这与几何证明得到的结论矛盾）。

“春秋战国以后，“一”字又可写作“弌”（图9）或“弌”（图10），累增“弋”或“戈”旁，是一种繁化写法。后世这种繁化写法均被废弃。

请看下集《欧几里得125、格、严格，不、失、不失，一、般、一般，繁化写法被废弃》”

若不知晓历史，便看不清未来

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