欧几里得114、指数，参、参数，代数基本定理，连分数

 

…指、数：见《欧几里得113》…

 

指数（数学用语）：幂运算a（a≠0）（读作“a的n次方”）中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角。幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数，a（a的n次方）表示n个a连乘。

…幂：见《欧几里得113》…

 

…参：《说文解字》：“参，天地人之道也。从三数。”天地人之道相列同行是参的意思。

 

三星同辉并列是参的意思。（文字来源不一，尽力相陈以作参考）

本义：加入在内。如：参加、参与、参政、参赛、参议。

衍（yn）义：引申指“相间，夹杂”。如：参杂。参半。 

衍义：引申指“检验，用其他有关材料来研究，考证某事物”。如：参考、参照、参省（xng）（检验省察）、参看、参阅。

衍义：引申指“探究，领悟”。如：参悟、参透、参破、参禅。 

衍义：引申指“旧指下级进见上级”。如：参见、参拜。

衍义：引申指“弹劾（hé），向皇帝告状”。如：参奏、参劾、参革。

 

字义：[cn]

1.加入在内：～加。～与。～政。～赛。～议。

2.相间，夹杂：～杂。～半。

3.检验，用其他有关材料来研究，考证某事物：～考。～照。～看。～阅。

4.探究，领悟：～悟。～透。～破。～禅。

5.旧指下级进见上级：～见。～拜。

6.弹劾，向皇帝告状：～奏。～劾。～革…

（…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…）

 

…参数：也叫参变量，是一个变量。我们在研究当前问题的时候，关心某几个变量的变化以及它们之间的相互关系，其中有一个或一些叫自变量，另一个或另一些叫因变量。如果我们引入一个或一些另外的变量来描述自变量与因变量的变化，引入的变量本来并不是当前问题必须研究的变量，我们把这样的变量叫做参变量或参数。

参数字面上理解是可供参考的数据…简单说，参数是给我们参考的。

 

参数思想贯彻于解析几何中。

对于几何变量，人们用含有字母的代数式来表示变量，这个代数式叫作参数式，其中的字母叫做参数。用图形几何性质与代数关系来连立整式，进而解题。

 

“参数法”是许许多多解题技巧的源泉。

词义：1.也叫参变量。

在所讨论的某个数学或物理问题中，于给定条件下取固定值的变量。

如在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都可以表示为在某个区间内的变量t的函数，那么所得到的方程x=f（t），y=g（t）就叫做该曲线的参数方程，变量t叫做参数。

2.表明任何现象、设备或其工作过程中某一种重要性质的量。如，汽轮机中蒸气的压力、温度等，是该汽轮机蒸气的参数；电阻、电感和电容，就是电路的参数…

[…解析几何（坐标几何）：见《欧几里得36》…]

 

指数（百度汉语）2：表示一个数自乘若干次的数字，记在数的右上角，如3²，4³，6ⁿ中的2，3，n。

 

2015-02-07，寂寞de小老鼠上传名为《证明√2是无理数的八种方法》的文章。

…无、理、无理数：见《欧几里得27》…

 

文章内容：

…

证法5：利用代数基本定理

 

根据代数基本定理，如果不考虑质因数的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成质数幂的积的形式，因此a=P₁^r1P₂^r2…P_m^rm（a=p₁的r₁次方×p₂的r₂次方×…×p_m的r_m次方），b=q₁^s1q₂^s2…q_n^sn（b=q₁的s₁次方×q₂的s₂次方×…×q_n的s_n次方），其中P₁，…，Pm与q₁，…，q_n都是质数，r₁，…，r_m与s₁，…，s_n都是正整数。

 

因为a²=2b²（a的平方=2×b的平方），所以P₁^2r1P₂^2r2…P_m^2rm=2¹q₁^2s1q₂^2s2…q_n^2sn（P₁的2r₁次方×P₂的2r₂次方×…×P_m的2r_m次方=2的1次方×q₁的2s₁次方×q₂的2s₂次方×…×q_n的2s_n次方）。

质数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此√2是无理数。

 

 

证法6：

假设√2=a/b，其中右边是最简分数，即在所有等于a/b的分数中，a是最小的正整数分子。

…最、简，分、数、分数，最简分数：见《欧几里得77》…

 

在a²=2b²（a的平方=2×b的平方）两边减去ab有a²-ab=2b²-ab（a的平方-ab=2×b的平方-ab），a（a-b）=b（2b-a），即√2=a/b=（2b-a）/（a-b）。

右边的分子2b-a＜a，这与a是最小分子矛盾，因此√2是无理数。

 

证法7：连分数法

 

因为（√2+1）（√2-1）=1，因此√2-1=1/（1+√2），√2=1+1/（1+√2）

√2=1+1/（1+√2），将分母中的√2用‘1+1/（1+√2）’代替，有√2=1+1/（1+1+1/（1+√2））=1+1/（2+1/（1+√2））

不断重复这个过程，得√2=1+1/（2+1/（2+…））

 

这是一个无限连分数，而任何有理数都可以表示为分子都是1、分母为正整数的有限连分数，因此√2是无理数。

 

“古希腊曾有“万物皆数’的思想，这种认为‘大自然的一切皆为整数之比’的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。

请看下集《欧几里得115、构图法证明√2是无理数，奠、基、奠基》”

若不知晓历史，便看不清未来

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