欧几里得111、历、史、历史，欧几里得证明√2是无理数的方法

 

历史上，人们对“证明根号2是无理数”很感兴趣（“就像人们对证明勾股定理很感兴趣一样。”中学生说）。

 

…历：这个“历”字的上古形体很有意思。甲骨文的上部是两棵“禾”，表示一行一行的庄稼，下部是一只脚（止），脚趾朝上，脚后根朝下，表示脚步从一行一行的庄稼中走过。金文的左上边增加了个“厂”字，表明在山崖之前种有一行行整整齐齐的庄稼。小篆（zhuàn）把甲骨文和金文合并，虽然字形复杂了，但是表意更为全面，表示人的脚步从山崖前的庄稼田中一步一步地走过。楷书的形体是直接从小篆变来的。是简化字，这就变成了一个外形（厂）内声（力）的新形声字了。

“历”字的本义是“经过”，如司马迁在《报任安书》中说：“足历王庭。”也就是说：从匈奴君主的住处走过。由这个本义又可以引申为“逐个地”、“一件一件地”，如《汉书·艺文志》：“历记成败存亡祸福古今之道。”大意是：一件一件地记载古今成败存亡祸福的道理。从这个意义出发，后世就产生了新叠音词“历历”了，如杜甫还曾以“历历”为题写了一首《历历》诗，诗中说：“历历开元事，分明在眼前。”

时间的推移是一月月一年年地前进的，所以表示历法、历书的“历”字，古人想得很周到，把“历”改为“暦”，以“日”代“止”，很有道理。

请注意：“历”字异体字较多。如“暦”、“歴”、“厤”等。不管哪种写法，现均写作“历”，便于记忆，书写方便。

 

字义：

1.经历；经过：来～。～程。～时半年。身～其境。

2.统指过去的各个或各次：～年。～代。～次。～届。

3.遍；一个一个地：～访各校。～试诸方，均无成效。

4.推算年月日和节气的方法；历法：阳～。阴～。农～。

5.记录年月日和节气的书、表等：日～。挂～。天文～…

[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…

…形声字：用形声造字法造出来的字…]

 

 

…史：会意字。商代甲骨文从“又持中”，“又”为手之象形，“中”为猎具，手持猎具会治事意。

 

“史”的本义是做事，又引申指史官。

引申指佐吏、历史、史籍、文辞等。

字义：1.历史：～学。近代～。世界～。有～以来。

2.古代掌管记载史实的官。

3.古代图书四部分类法（经史子集）中的第二类：～书。～部…

 

[…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…

…意：意思：来～…

…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…

…会意字：用会意造字法造出的汉字就是会意字…]

 

…历史：历史，简称“史”，指人类社会过去的事件和活动，以及对这些事件行为有系统的记录、研究和诠（quán）释。历史是客观存在的，无论文学家们如何书写历史，历史都以自己的方式存在，不可改变。

其含义有三：1.记载和解释作为一系列人类进程历史事件的一门学科；2.沿革，来历；3.过去的事实。

历史的问题在于不断发现真的过去，用材料说话。

历史是延伸的。历史是文化的传承，积累和扩展，是人类文明的轨迹。

 

历史是不以人的意志为转移的，但是，历史是人书写的，既然是人书写的，就会夹杂着人的情感，人的喜怒知哀乐，所以说，所看到的历史文字，是夹杂着人的情感的历史。

历史随时产生，是人们在过去自由活动的如实记录。它存在的意义是，让人们总结过去，充实未来的生活，以史为鉴，借古论今。

 

词义：1.自然界和人类社会的发展过程，也指某种事物的发展过程和个人的经历：地球的～。人类的～。

2.过去的事实：这件事早已成为～。

3.过去事实的记载。

4.指历史学…

（…总、结、总结：见《欧几里得86》…）

 

…

…无、理、无理数：见《欧几里得27》…

 

根号2是无理数”的证明方法层不出穷…以下是常见的几种：

欧几里得《几何原本》中的证明方法：

证明√2是无理数

设√2不是无理数

∴√2是有理数

…∴：数学符号“所以”…见《欧几里得77》…

 

令 √2=p/q（p、q互质）

…互质：公约数只有1的两个整数，叫做互质整数…

 

互质数可以是负数吗？——网友提问

2019-06-23，天蝎小文鱼：质数定义：只有1和它本身两个因数的自然数。负数不是自然数，因此互质数一定是正数。

“负数连质数都不是了，怎么可能是互质数。”天蝎小文鱼追答。

 

…

√2=p/q两边平方得：2=（p/q）2（2=“p/q”的平方）

即：2=p2/q2（2=“p的平方”/“q的平方”）

通过移项，得：2q²=p²（2×q的平方=p的平方）

∴p²（p的平方）为偶数[p的平方是某整数平方的2倍，由偶数定义（能被2整除的数）知，p的平方是偶数]

∴p为偶数（奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数）

 

不妨令p=2m，则有：2q²=（2m）²（2×q的平方=“2m”的平方）

2q²=（2m）²化简一下得q²=2m²（q的平方=2×m的平方），于是q为偶数。

p为偶数，q也为偶数，p、q有公约数2，这与前提“p、q互质”矛盾。

 

∴√2不是有理数

∴√2是无理数

 

（补充）“p为偶数，q也为偶数，p、q有公约数2，这与前提‘p、q互质’矛盾”推导出“√2是无理数”的过程：

 “p、q有公约数2，p、q互质”不符合数学事实

∴ “p、q有公约数2，p、q互质”为假

…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…

…：数学符号“因为”…见《欧几里得77》…

…假：不符合事实…见《欧几里得75》…

 

“√2不是无理数”能推导出“p、q有公约数2，p、q互质”的推论。

…推、导、推导：见《欧几里得7》…

…论、推论：见《欧几里得66》…

 

 推导方法正确，推论假，推导出推论的命题必为假（逻辑关系）

∴ “√2不是无理数”为假

…命、题、命题：见《欧几里得70》…

…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…

 

 两个互相矛盾的命题，不可能同时为真，必有一假（矛盾律）

…矛盾律：见《欧几里得73》…

 

∴ “√2不是无理数”“√2是无理数”必有一假

 

 两个互相矛盾的命题，不可能同时为假，必有一真（排中律）

…排中律：见《欧几里得72~74》…

 

∴ “√2不是无理数”为假时，“√2是无理数”为真

…真：符合事实…见《欧几里得75》…

 

∴ √2是无理数

 

“√2 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此。

请看下集《欧几里得112、√2 是无理数，发现并坚持这个结果的希帕索斯付出生命代价》”

 

若不知晓历史，便看不清未来

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