欧几里得48、不食人间烟火的数学家与直线思维的美

 

数学上的“上界”是什么意思？——网友提问

“一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界。”网友陈健聪smile回答。

…集、合、集合：见《欧几里得31》…

…实、数、实数：见《欧几里得37》…

…smile（英语）：v.（动词）微笑；笑；微笑着说；微笑地表示；现出（笑容）

n.（名词）微笑；笑容…

…陈健聪：可能是网友的真名…

…陈健聪smile：陈健聪的微笑；微笑的陈健聪…

 

详细解释下陈健聪smile的回答：

 

一个实数集合M。

“‘一个实数集合M’，这是什么意思呢？”中学生说，“我们一点一点理解…”

“‘实数’的英语是real number，”中学生接着说，“‘real’意思是‘真实的；实际存在的’，‘number’意思是数字。”

…real：adj.（形容词）真实的；实际存在的；非凭空想象的；真的；正宗的；非假冒的；非人工的；真正的；确实的

adv.（副词）非常；很

n.实在；现实；实数…

…number：n.数字；数；数量；编号；序数；（电话、传真等的）号码

v.标号；给…编号；总计；共计；数以…计；把…算作；（被）归入…

…real number：n.实数…

 

“‘real number’合起来，意思是‘真实的数字，实际存在的数字’。”中学生最后说。

 

“‘集合M’，这又是什么意思？”中学生问。

“说起来，数学家非常懒：他们喜欢就地取材；他们从来不愿多想一下…”中学生说。

“在数学的历史中，人们需要用字母表示数字，”中学生接着说，“奇懒无比的数学家，便用number里的字母表示数字…”

“n和m，是他们最常用的，表示数字的字母…”中学生继续说。

[“我选择n、m表示数字，不是因为我懒，而是因为——我看到n、m，就会想到number（数字）,”一位数学家说，“这叫‘直线思维’。”

…

“你永远无法理解直线思维的美。”数学家最后说。]

“数学家用m表示数字。”中学生最后说。

 

“随着时代发展，人们需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’…”中学生说，“需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家。”

“奇懒无比的的数学家，再次懒出天际…”中学生接着说，“他们用大写m（即M）表示‘数的集合’。”

“解决‘表示【数的集合】’需求时，数学家甚至不愿去找其它字母，”中学生继续说，“这只是‘多思考一下’的劳动量，不需要花费时间、精力、钱，但数学家们就是不愿意。”

“数学家们，真是懒死了。”中学生最后说。

 

一个实数S。

“这个没啥好解释的，一个实数S就是一个实数S，”中学生说。

（“这里，‘S’表示某个实数，”中学生说。）

 

M中任何数都不超过S。

“M是一个实数集合，例如{1，2，3，4，5}。”中学生说。

“M里的任何数都不能大于S，满足这个条件的S有很多…”中学生接着说，“我们还用刚才的例子说明。”

“对于{1，2，3，4，5}来说，S可以是5、6、7、8…”中学生继续说，“1，2，3，4，5这五个数，都没能大于5…”

“它们也没能大于6、没能大于7、没能大于8…”中学生最后说。

 

“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，5、6、7、8…都是符合条件的S，”中学生说，“称S是M的一个上界。”

“5是{1，2，3，4，5}的一个上界，6是{1，2，3，4，5}的一个上界，7是{1，2，3，4，5}的一个上界…等等。”中学生接着说。

“‘一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界’，现在你理解这句话了吧？”中学生问。

“如果还不理解…我以后会用更通俗的话…讲这个知识点。”中学生最后说。

 

“在所有这些上界中，如果有一个最小的上界，就称它为M的上确界。”网友陈健聪smile说。

…上、确、界：见《欧几里得47》…

…上界：上面的界限；上面的范围…

…上确界：（直译）上面确定的界限…

 

“陈健聪smile说的什么意思呢？我们继续用前面的例子说明…”中学生说。

“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，S可以是5、6、7、8…”中学生继续说，“在5、6、7、8…这些上界中，5是最小的上界。”

“5就是M的上确界。”中学生最后说。

“一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个，”陈健聪smile说。
…有界数集：有最大数（上确界）和最小数（下确界）的数集…

“我们还是用前面的例子说明…”中学生说，“{1，2，3，4，5}是个有界数集。”
“{1，2，3，4，5}这个集合的上界是：5，6，7，8…”中学生接着说，“就是说，{1，2，3，4，5}有无数个上界。”
“{1，2，3，4，5}虽然有无数个上界，但是它的上确界只有一个，就是5。”中学生继续说。
“‘一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个’，就是这个意思。”中学生最后说。

“理解了‘上确界’，便能理解‘下确界’。”中学生说。

 

“实数理论中，有一条叫‘确界原理’的公理。”陈健聪smile说。

…陈健聪smile：网友名字。见《欧几里得48》…

…实、数、实数：见《欧几里得37》…

…理、论、理论：见《欧几里得5》…

…确、界：见《欧几里得47》…

…原、理、原理：见《欧几里得41》…

 

确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

确界原理的另一种表达：有上界的非空数集必存在上确界；有下界的非空数集必存在下确界。

…数集：数的集合…

（…集、合、集合：见《欧几里得31》…）

…空集：空的集合（不含任何元素的集合）…

…非空集合：至少含有一个元素的集合…

…非空数集：至少含有一个数的数集…

 

…

…公、公理：见《欧几里得1、2》…

 

“汇知园：虽然是放在大学部分，其实其内容非常容易理解。只是大学很多教材写的不是很清楚。
（大学教材）基本都是用希腊字母做证明，而没有图示。这种确界，其实都是集合理论，而集合理论，小学生都是可以理解的。

请看下集《欧几里得49、集合理论，小学生都是可以理解的》”

若不知晓历史，便看不清未来

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