欧几里得30、欧多克斯的证明，数系，轴、数轴

200年后，约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。

…量、比：见《欧几里得27》…

…不可公度：见《欧几里得24》…

…欧多克斯十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法：？…

…欧多克斯处理不可公度的办法：？？…

网上名为《数学的真相》的PPT，描述了欧多克斯处理不可公度的办法。

PPT内容：“比例”的新定义——消除了几何上的危机

…比、例、比例，定、义、定义，几、何、几何，危、机、危机，几何上的危机：见《欧几里得28、29》…

比例的新定义——定理：如果两个三角形的高相同，则它们的面积之比等于两底之比。

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

“三角形面积公式是底乘高除以2。面积用S表示，底用a表示，高用h表示，三角形面积公式就是：s=1/2ah。”中学生说。

“三角形1的面积公式是s₁=1/2a₁h₁，三角形2的面积公式是s₂=1/2a₂h₂，它们比一下就是s₁/s₂=（1/2a₁h₁）/（1/2a₂h₂），”中学生接着说，“高相同…高都用h表示…比例公式就变成s₁/s₂=（1/2a₁h）/（1/2a₂h）。”

“1/2约掉，h约掉，于是得出s₁/s₂=a₁/a₂，即：如果两个三角形的高相同，则他们的面积之比等于两底之比。”中学生最后说。

对于比例的新定义，毕达哥拉斯学派的证明是：假设线段BC，DE分别是某公度线段的P倍和q倍；将ABC和ADE分别分成p和q个小三角形，则ABC/ADE=p/q=BC/DE。

…公度：见《欧几里得24》…

（…公度和公约：对于两条线段a，b，总能找到第三条线段c，使得这两条线段都可以分成c的整数倍，这时我们就说，c是a、b的度量单位，并说a、b是可公约的或可公度的…）

“毕达哥拉斯学派的证明比欧多克斯的证明简洁得多，这里就不阐述欧多克斯的证明了…只展示下图片：”PPT作者说。

“‘无法用整数或分数将边长1的正方形的对角线长度表示出来’，‘边长1的正方形的对角线长度’既不是整数也不是分数，它是种新的数，”PPT作者说，“当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称‘有理数’；新发现的数不好理解，就取名为‘无理数’。”

…有、理、有理、有理数：见《欧几里得25》…

…无、无理数：见《欧几里得27》…

“无理数的发现，引发了人们对数系的思考，”PPT作者接着说。

…数：见《欧几里得15》…

…系：见《欧几里得25》…

…数系：？？？…

“数系这个词看上去如此简单，网上却没有对它的准确解释，”中学生说，“这里暂时把它理解成‘互相联系的数、的集合’‘互相联系的数、的总称’。”

“古代数学家认为，有理数能把数轴上的点用完。发现无理数后，人们知道了：数轴上除了有理数，还有无理数。”PPT作者继续说。

…轴：形声。从车，由声。本义：轮轴。

字义：1.机械中主要零件之一。一般为金属圆杆，轮子和其他转动的机件绕着它或随着它转动：车～。转～。

2.圆柱形的器物，可往上卷或绕上东西：线～儿。画～。

3.量词。用于绕在轴上或卷在轴上的东西：两～线。一～山水画。

4.数学上指一条直线，周围的点围绕它旋转，或是用它作为确定各点位置的标准：转动～；坐标～…

[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]

…数轴（百度百科）：数轴，为一种几何图形。

直线是由无数个点组成的集合，实数包括正实数、零、负实数，也有无数个。正因为它们的这个共性，所以用直线上无数个点来表示实数。这时就用一条规定了原点、正方向和单位长度的直线来表示实数。

规定右边为正方向时，在这条直线上的两个数，右边上点表示的数总大于左边上点表示的数，正数大于零，零大于负数…

“数字按大小顺序排列，形成的轴…数字组成的轴…就是数轴。”中学生说。

“数字按大小顺序整齐的排成一列、就好像有轴把它们串起来一样，因此，把这种排列叫数轴。”另一位中学生说。

…数轴（百度汉语）2：规定了原点、正方向和单位长度的直线。数轴上的点和实数一一对应…

“人们原来认为‘数轴是表示有理数的轴’、‘数轴就是有理数’、‘有理数按顺序从小到大排列，形成了数轴’…”PPT作者说，“发现无理数后，人们知道了：数轴由有理数和无理数一起组成…”

“于是…出现了一个问题：数轴是什么？”PPT作者接着说，“原来，人们认为，数轴是有理数…‘数轴由有理数和无理数组成’，这个数学事实被发现后，人们得到了一个诡异结论：数轴是有理数、无理数。”

“这句话有很多不同的表述：有理数、无理数是数轴；有理数是数轴，无理数也是数轴；数轴既是无理数，又是有理数；…”PPT作者继续说，“按这个逻辑推理下去，会得出‘无理数等于数轴等于有理数（无理数=数轴=有理数）’这个荒唐结论。”

…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…

…理：见《欧几里得1》…

…推、推理：见《欧几里得12》…

“显然，‘无理数=数轴=有理数’不符合事实（不符合数学事实）。”PPT作者最后说。

…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…

“集：会意字。早期的“集”字有多种写法，商代甲骨文（图1、2）和商代金文（图3、5）都是鸟在树上的象形。简体字形作一只鸟（“隹”）在树（“木”）上。

本义：鸟成群聚集在树上。

请看下集《欧几里得31、集、合、集合，下，定、义、定义，下定义》”

若不知晓历史，便看不清未来

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