欧几里得27、悖、论、悖论，毕达哥拉斯悖论，第一次数学危机产生的原因

 

“边长1的正方形的对角线长度无法用整数或分数表示出来”，这个简单的数学事实的发现，使毕达哥拉斯学派的人感到迷惑不解。它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲击着当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信仰。

…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…

…信条：忠实遵守的准则…

…毕达哥拉斯派的信条：万物皆数（万物都可以用整数或分数表示）。见《欧几里得20》…

…信、仰、信仰：见《欧几里得15》…

 

这就形成了悖（bèi）论，人们称之为毕达哥拉斯悖论（也叫希帕索斯悖论）。这次悖论直接导致了认识上的危机，从而产生了第一次数学危机。

…悖：形声。从心，孛（bèi）声。本义：违反，违背。

字义：1.相反；违反：并行不～。

2.违背道理；错误：～谬…

[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]

…论：见《欧几里得3》…

 

悖论：逻辑学指可以同时推导或证明两个互相矛盾的命题的命题或理论体系。

…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…

…推、导、推导：见《欧几里得7》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

…命题：见《欧几里得2》…

…理、论、理论：见《欧几里得5》…

 

…体（繁体字为“軆”）：形声。从骨，豊（l）声。今简化为“体”。本义：身体。

字义：1.人、动物的全身：身～。～重。～温。～质。～征（医生在检查病人时所发现的异常变化）。～能。～貌。～魄（体格和精力）。～育。～无完肤。

2.身体的一部分：四～。五～投地。

3.事物的本身或全部：物～。主～。群～。

4.物质存在的状态或形状：固～。液～。～积。

5.文章或书法的样式、风格：～裁（文学作品的表现形式，可分为诗歌，散文，小说，戏剧等）。字～。

6.事物的格局、规矩：～系。～制。

7.亲身经验、领悟：～知（亲自查知）。～味。身～力行（xíng）。

8.设身处地为人着想：～谅。～贴。～恤…

…系：见《欧几里得25》…

…体系：若干有关事物或某些意识互相联系而构成的一个整体：防御～。工业～。思想～…

 

据说，希帕索斯由于发现了无理数，从而遭到了毕达哥拉斯学派的追杀。他虽逃到了埃及，但几年之后，在回国途中，还是被人扔到海里淹死了。

…无：无，篆（zhuàn）文（图A）在（图B）[兀（秃头）]上加一横，强调“兀（wù）”的程度，造字本义：形容词，头顶全秃，没有头发。“兀”是秃顶；“无”是光头。

字义：

1.没有（跟“有”相对）：从～到有。～产阶级。有则改之，～则加勉。

2.不：～论。～须。

3.不论：事～大小，都有人负责…

…无理数：也称无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根[如√2（根号二）]、π（圆周率）等。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希帕索斯发现…

（…完全平方数：指可以写成某个整数的平方的数。如9 =3×3，9就是平方数…）

 

200年后，约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。

 

…量：[ling]

1.限度：胆～。力～。

2.数量：降雨～。产～。

3.估计；衡量：～力而行。

4.哲学范畴。指事物存在和发展的规模、程度、速度等，即：可以用数量表示的规定性，如多少、大小、高低、轻重、快慢等。

[liáng]【动词】形声。本义：用量器计算容积或长度。

1.用器具确定东西的多少、长短或其他性质：～地。～血压。

2.估计；衡量：打～。思～…

…比：在甲骨文（图A）和钟鼎文（图B）里，是两个亲近的人，紧靠相依，并肩向前，这正是“比”的本义：紧靠、亲近、比并。发展到秦代小篆（zhuàn）（图C），“比”的形体像小两口弯着腰垂手过膝向来宾们鞠躬致谢。这个字发展到汉隶（lì）（图D）阶段，弯腰鞠躬的一对变成平坐搭肩的一对。楷书“比”（图E），平坐搭肩的姿式没有变，由此产生出并列、挨着、接近等引申义。

字义：1.比较；较量：～干劲。学先进，～先进。

2.能够相比：近邻～亲。坚～金石。演讲不～自言自语。

3.比画：连说带～。

4.对着；向着：别拿枪～着人，小心走火。

5.仿照：～着葫芦画瓢（比喻模仿着做事）。

6.比方；比喻：人们常把聪明的人～做诸葛亮。

7.两个同类量之间的倍数关系，叫做它们的比，其中一数是另一数的几倍或几分之几：这里的小麦年产量和水稻年产量约为一～四。

8.表示比赛双方得分的对比：甲队以二～一胜乙队。

9.a）“一”加量词在“比”的前后重复，可以表示程度的累进：国民的生活一年～一年富裕了。b）比较高下的时候用“比”，表示异同的时候一般用“跟”或“同”。

10.紧靠；挨着：～肩。鳞（lín）次栉（zhì）～。

11.依附；勾结：朋～为奸…

 

““‘正方形边长为1时，对角线长多少？’，这个问题出现后，不仅在算术上引发危机（无法用整数或分数将边长1的正方形的对角线长度表示出来），也在几何上引发了危机…”中学生说，“曾有一段时间，人们不知道‘边长1的正方形的对角线’是什么…”

请看下集《欧几里得28、定义，几、何、几何，危、机、危机，几何危机》”

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