欧几里得99、辗转相除的正方形图示

“两条线段的公度单位，简单的说就是找一个公度量，使得两条线段的长度都是这个公度量的整倍数（于是这个公度量就可以同时作为两条线段的单位长度并用于测量）…寻找公度量的方法相当直观，就是不断把较长的那个线段减去短的那个线段，直到两个线段一样长…”网友最后说。

“熟悉数论的同学一下就明白了：这就是欧几里得的辗（zhn）转相除算法求最大公约数…”网友说。

…辗转相除算法求最大公约数：见《欧几里得94~99》…

“第一次数学危机的根结就在于，古希腊人理所当然地相信不断地截取线段，总有一个时候会截到两个线段一样长。后来，Hippasus（通常译为希帕索斯）画了这么一张图，告诉大家了一个反例：有可能这个操作会无穷尽地进行下去…”网友接着说。

“现在看他怎么解释‘在图中的BC和BD之间进行辗转相除为什么永远不能停止’…”网友继续说。

“…把BD减去BC，剩下一段DE。以DE为边做一个新的小正方形DEFG…显然DE=EF=FC（EDF为等腰直角且BEFBCF）。接下来我们应该在BC和DE间辗转相除…”网友最后说。

“BC就等于CD，CD减去一个DE相当于减去一个FC，就只剩下一段DF了…”网友说。

“现在轮到DE和DF之间辗转相除…而它们是一个新的正方形的边和对角线…其比例正好与最初的BC和BD相当…于是，这个操作再次回到原问题，并且无限递归下去…”网友接着说。

…递：传送；传递…

…归：返回：～国华侨。无家可～…

…递归：一种计算过程。如果其中每一步都要用到前一步或前几步的结果，称为递归…

“最后的结论用我们的话说就是：不存在一个数x，使得BC和BD的长度都是x的整倍数…于是，BD/BC不能表示为两个整数之比p/q（否则BD/p=BC/q=x，于是就有了x…这与几何证明得到的结论矛盾）…”现代学者最后说。

“有发现上面的代数证明和几何证明之间的共同点吗？…”现代学者说。

“它们都是这样的一个思路：假设已经找到满足条件的最小量…那么就可以用一种方法找出满足条件的、更小的量…无限循环下去…数目越来越小，永无止境…”现代学者接着说。

“严格的数学证明中你或许会看到这样一句话：‘不失一般性，设n为最小的满足…’”现代学者继续说。

…不失：1.不偏离；不失误。2.不遗漏；不丧失。3.还算得上；不愧…

…一般性：事物的一种性质。是指具有普遍性，如公式、公理、定理等等，对所有的对象都适用。例如，公式（a+b）2 =a2+b2+2ab具有一般性。因为公式中a、b的值取任何实数…

…（a+b）2 =a2+b2+2ab：（a+b）的平方=a的平方+b的平方+2ab…

““‘不失一般性’和‘举个例子来说’大体意思相同，但是这个例子必须是可以代表普遍情况的，不能是换了个例子…结论都变掉了…”Xiongxionghy最后说。

请看下集《欧几里得100、数学中的“不失一般性”；证明的思路：满足条件的最小量》”

若不知晓历史，便看不清未来

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