欧几里得85、√2是无理数的证明方法：尾数分析法；奇偶分析法

“由于完全平方数b2（b的平方）的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此2×b2（2×b的平方）的尾数只能是0、2、8中的一个…”寂寞de小老鼠接着说。

…尾数0、1、4、5、6、9，分别乘以2得0、2、8、10、12、18：新数的尾数为0、2、8。

…完全平方数：见《欧几里得84》…

…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…

“因为a²=2b²（a的平方=2×b的平方），所以a²（a的平方）与2b²（2×b的平方）的尾数都是0…”寂寞de小老鼠继续说。

…a²（a的平方）的尾数为0、1、4、5、6、9中的一个，2b²（2×b的平方）的尾数为0、2、8中的一个，a²=2b²（a的平方=2×b的平方）。满足上述条件的尾数只有0。因此，a²（a的平方）与2b²（2×b的平方）的尾数都是0。

“因此，b²（b的平方）的尾数只能是0或5…”寂寞de小老鼠最后说。

…2b²的尾数是0，b²（b的平方）的尾数为0、1、4、5、6、9中的一个。在0、1、4、5、6、9这些尾数中，只有0，5乘以2后，得到的新数的尾数是0。因此，b²（b的平方）的尾数是0或5。

“因此，a与b有公因数5…”寂寞de小老鼠说。

… a²（a的平方）的尾数是0，尾数是0的正整数是5的倍数

∴ a²（a的平方）是5的倍数（此处运用的证明方法是三段论）

 a²（a的平方）是5的倍数

∴ a²（a的平方）含有因数5

 a²（a的平方）=a×a，a×a含有因数5

∴ a含有因数5（此处运用了排中律）

同理可证b含有因数5。

∴ a与b有公因数5

“a与b有公因数5，这与（a，b）=1矛盾！…因此√2是无理数…”寂寞de小老鼠说。

…（a，b）=1：a 与 b 最大的公因数是1；a ，b互质…见《欧几里得84》…

“这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数…”寂寞de小老鼠接着说。

…根：1.高等植物的营养器官，能够把植物固定在土地上，吸收土壤里的水分和溶解在水中的养分，有的根还能贮藏养料。2.事物的本原；人的出身底细：祸～。寻～。从～儿上解决问题。知～知底…

…平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根，也叫做a的二次方根。例如：5×5=25，5就是25的平方根…

证法2：奇偶分析法

“假设√2=a/b，其中（a，b）=1，且a与b都是正整数。则a²=2b²（a的平方=2×b的平方）…”寂寞de小老鼠说，“…可知a是偶数（详见《欧几里得80》）…”

“设a=2c，则4C²=2b²（4×c的平方=2×b的平方），b²=2c²（b的平方=2×c的平方）…可知b也是偶数…”寂寞de小老鼠接着说。

““b=1，则a=√2…这与‘a是正整数’矛盾…这是不行的…”寂寞de小老鼠说。

请看下集《欧几里得86、推动数学进步的网友：寂寞de小老鼠》”

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