欧几里得79、普通人也会的高等数学：用奇数偶数，推出毕达哥拉斯悖论

“希伯斯发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比表示…”大颖（yng）子说。

…大颖子：网友网名，见《欧几里得78》…

“假设正方形边长为1…设其对角线长为d…依勾股定理有d²=1²+1²=2（d的平方=1的平方+1的平方=2），即d²=2（d的平方=2）…那么d是多少呢？”大颖子接着说。

“显然d不是整数，那它必是两整数之比（分数）…希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找着，反而找到了两数不可通约的证明…”大颖子继续说。

…通约：通分，约分，简称“通约”…

…不可通约：不能通分，约分…

“通分需分子分母同时乘一个数，约分需分子分母同时除一个数…”一位爱学习的女生说，“什么数不能通分约分呢？——整数、分数以外的数不能通分约分~”

…

边长为1的正方形，对角线长为d…d如果是两整数之比，则两整数不可通约…用反证法证明如下：设直角ABC两直角边为a=b，斜边为c，依勾股定理有c²=2a²（c的平方=2×a的平方）。

设已将a和c中的公约数约去，a为偶数。

由于a，c没有公约数2所以c为奇数。

“c²=2a²（c的平方=2×a的平方）”…a的平方的二倍是偶数，a的平方的二倍=c的平方，所以c的平方是偶数…奇数平方是奇数，偶数平方是偶数，所以c为偶数。

这与前面已证c为奇数矛盾。

设已将a和c中的公约数约去，a为奇数。

“c²=2a²（c的平方=2×a的平方）”…c²（c的平方）为偶数…奇数平方为奇数，偶数平方为偶数，所以c为偶数。

不妨令c=2m，则有：（2m）²=2a²——（2m）的平方=2×a的平方

（2m）²=2a²化简一下得2×m²=a²（2×m的平方=a的平方）…于是a为偶数。

这与前提a为奇数矛盾。

以上发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。

…悖：1.相反；违反：并行不～。2.违背道理；错误：～谬…

…悖论：逻辑学指可以同时推导或证明两个互相矛盾的命题的命题或理论体系…

…

历史上，人们对“证明根号2是无理数”很感兴趣（就像人们对证明勾股定理很感兴趣一样）…“根号2是无理数”的证明方法层不出穷…以下是常见的几种：

欧几里得《几何原本》中的证明方法：

证明√2是无理数

设√2不是无理数

∴√2是有理数

…

∴：数学符号“所以”…雷恩是首个以符号“∴”表示“所以”（therefore）的人（“主要是因为写字母太麻烦了~”雷恩说。），他于1659年的一本代数书中以“∴”及“∴”两种符号表示“所以”，其中以“∴”用得较多。而该书1668年的英译本亦以此两种符号表示“所以”，但以“”用得较多…至18世纪中，“”用以表示“所以”至少和“∴”用得一样多。到了1827年，由剑桥大学出版的欧几里得《几何原本》中分别以“”表示“因为”，及以“∴”表示“所以”…这用法日渐流行，且沿用至今。

“公约数只有1的两个整数，叫做互质整数…

请看下集《欧几里得80、数学符号“∴”；欧几里得证明√2是无理数的方法；排中律》”

若不知晓历史，便看不清未来

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