欧几里得20、欧多克斯的证明；算术与几何；数系与数轴

“比例的新定义是——定理：如果两个三角形的高相同，则他们的面积之比等于两底之比…”PPT作者接着说。

…PPT作者：《数学的真相》PPT的作者…

…

“三角形面积公式是底乘高除以2。面积用S表示，底用a表示，高用h表示，三角形面积公式就是：s=1/2ah…”现代学者说。

“三角形1的面积公式是s₁=1/2a₁h₁，三角形2的面积公式是s₂=1/2a₂h₂，它们比一下就是s₁/s₂=（1/2a₁h₁）/（1/2a₂h₂）…”现代学者接着说，“高相同…高都用h表示…比例公式就变成s₁/s₂=（1/2a₁h）/（1/2a₂h）…”

“1/2约掉，h约掉，于是得出s₁/s₂=a₁/a₂，即：如果两个三角形的高相同，则他们的面积之比等于两底之比…”现代学者最后说。

…

“对于比例的新定义，毕达哥拉斯学派的证明是：假设线段BC，DE分别是某共度线段的P倍和q倍；将ABC和ADE分别分成p和q个小三角形。则ABC/ADE=p/q=BC/DE…”PPT作者继续说。

…公度和公约：对于两条线段a，b，总能找到第三条线段c，使得这两条线段都可以分成c的整数倍，这时我们就说，c是a、b的度量单位，并说a、b是可公约的或可公度的…

“毕达哥拉斯学派的证明比欧多克斯的证明简洁得多，这里就不阐述欧多克斯的证明了…只展示下图片：”PPT作者最后说。

“‘无法用整数或分数将边长1的正方形的对角线长度表示出来’…‘边长1的正方形的对角线长度’既不是整数也不是分数…它是种新的数…”PPT作者说。

“当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称‘有理数’…新发现的数不好理解，就取名为‘无理数’…”PPT作者接着说。

“无理数的发现，引发了人们对数系的思考…”PPT作者继续说。

…数：表示事物的量的基本数学概念。由于生产实践对计数和测量的需要，首先产生了自然数（正整数），后又逐渐产生了分数、零、无理数、负数、虚数等…

（“‘计数’是算术，‘测量’是几何…”现代百姓说。）

…系：有联属关系的——～统，～列，水～；某些学科中分类的名称——汉藏（zàng）语～，寒武～（地质学名词）…

…数系：？？？…

“数系这个词看上去如此简单，网上却没有对它的准确解释…”现代学者说，“这里暂时把它理解成‘数的集合’‘数的总称’…”

…

“古代数学家认为，有理数能把数轴上的点用完…发现无理数后，人们知道了：数轴上除了有理数，还有无理数…”PPT作者最后说。

…数轴：数字按大小顺序排列，形成的轴…数字组成的轴…

…轴：穿在轮子中间的圆柱形物件——～心，轮～；数学上指一条直线，周围的点围绕它旋转，或是用它作为确定各点位置的标准——转动～，坐标～…

“数字按大小顺序整齐的排成一列，就好像有轴把它们串起来一样…因此，把这种排列叫数轴，”现代百姓说。

““人们发现，有理数、无理数…它们都是实际存在的数…”PPT作者最后说，“于是，人们给它们取名‘实数’…”

请看下集《欧几里得21、诡异逻辑；集合与定义；“数轴是什么”与实数的诞生…》”

若不知晓历史，便看不清未来

欢迎关注博客"人性的游戏"或微博"人性的游戏"