欧几里得19、欧多克斯给出的比例新定义，为何能消除几何上的危机？

“200年后，约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题——他采用了一个十分巧妙的关于‘两个量之比’的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比…”荟（huì）文苑（yuàn）说。

…荟文苑：某老师在网上的名字，见《欧几里得13》…

…公度和公约：对于两条线段a，b，总能找到第三条线段c，使得这两条线段都可以分成c的整数倍，这时我们就说，c是a、b的度量单位，并说a、b是可公约的或可公度的…

“欧多克斯处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致…”荟文苑接着说。

…欧多克斯十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法：？…

…欧多克斯处理不可公度的办法：？？…

网上名为《数学的真相》的PPT，对欧多克斯处理不可公度的办法，进行了尽可能简洁的描述：

“欧多克斯给出的比例新定义，消除了几何上的危机…”PPT作者说。

…几何上的危机：？…

“‘当正方形的边长是1时，对角线长多少？’，这个问题出现后，不仅在算术上引发危机（无法用整数或分数将边长1的正方形的对角线长度表示出来），也在几何上引发了危机…”现代学者说，“曾有一段时间，人们不知道‘边长1的正方形的对角线’是什么…”

“按‘万物皆数’理论（见《欧几里得16、17》），这个对角线是数，但是…人们无法用数将它表示出来…”现代学者接着说，“人们也无法从几何角度，解释‘边长1的正方形的对角线’是什么…”

“欧多克斯的比例新定义出现后，人们知道了：正方形的对角线…它的长度和边长成比例…它是比例当中的一个变量…”现代学者继续说，“人们能从几何角度，解释‘边长1的正方形的对角线’了…”

…比例：在数学中，表示两个或多个比相等的式子…

“在数学中，如果一个变量的变化总是伴随着另一个变量的变化，则两个变量是成比例的…”学者说，“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系…”

“在几何上，人们知道了‘边长1的正方形的对角线’是什么…”现代学者最后说，“由此，几何上的危机得到解决…”

…

“比例的新定义是——定理：如果两个三角形的高相同，则他们的面积之比等于两底之比…”PPT作者接着说。

…定理：被证明为正确，作为推理的依据的真命题…

（…推理：也是“证明”的意思…

…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…

…真命题：正确的命题…）

““数系这个词看上去如此简单，网上却没有对它的准确解释…”现代学者说，“这里暂时把它理解成‘数的集合’‘数的总称’…”

请看下集《欧几里得20、欧多克斯的证明；算术与几何；数系与数轴》”

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