将二次型的对称矩阵A写出来，对其1至n阶主子式的符号加以限制，取交集，得参数的取值范围。
与正定矩阵相似的对角阵的求法：对角阵的元素是A的特征值，且必须为正数，不能为零或负数，相似条件：（P-1）AP=对角阵。（矩阵的迹即主对角线元素的和）A的迹与其相似对角矩阵的迹相等，且等于特征值的和。可以通过/A-mE/=0验证。在对三次多项式分解因式的时候，先带入特殊值1、0、-1等求出一个因式，再利用多项式的除法，得出可分解因式的二次多项式，再分解因式求解。
若对称矩阵A是正定的，则A的伴随矩阵也正定：由A大于0知所有特征值大于0，A的逆的特征值与其自身的特征值互为倒数，知A的逆的特征值大于0（/A/>0所以A可逆），A的伴随矩阵=/A/乘以A的逆，其特征值为/A/除以各个特征值，于是A的伴随矩阵的特征值均大于0，故A的伴随为正定矩阵。（互逆的矩阵的行列式为倒数：P-1AP=对角阵 PP-1APP-1=P对角阵P-1 A=P对角阵P-1 /P//P-1/=1）
A是n阶正定矩阵，则/A+2E/>2的n次方，/A+E/>1：总存在正交矩阵P，使P-1AP=PTAP=对角阵，其中对角阵的元素是A的特征值，因此/A+2E/=/P对角阵P-1+P2EP-1/=/P（对角阵+2E）P-1/=/P//对角阵+2E//P-1/=/对角阵+2E/=对角阵/特征值各个元素+2/=（m1+2）+（m2+2）+...+（mn+2）>2的n次方（mi大于0）。同理可得结论2。
A为mn阶矩阵，E为n阶单位阵，B=mE+ATA，则当m＞0时B为正定阵：正定必须先对称：BT=（AE+ATA）T=（mE）T+（ATA）T=mE+AT（AT）T=mE+ATA=B对称。（抽象用定义）对任意n维实向量x有：xTBx=xT（mE+ATA）x=xTmEx+xTATAx=mxT+（Ax）T（Ax）=m//x//2+//Ax//2＞0，对于任意的x≠0，前部分＞0，后部分≥0（很严谨，x本身的范数＞0，A与x积的范数≥0），满足了正定二次型定义，∴当m＞0时xTBx＞0，B是正定矩阵。
A为m阶实对称矩阵，且正定，B为mn阶实矩阵，则BTAB为正定矩阵的充要条件是R（B）=n：必要性：设BTAB为正定矩阵，则对于任意n维实向量x≠0，有xT（BTAB）x＞0即（Bx）TA（Bx）＞0，又∵A是正定矩阵，于是Bx≠0，∴齐次方程Bx=0仅有零解，从而R（B）=n；充分性：∵（BTAB）T=BTAT（BT）T（对称），若R（B）=n，线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意n维列向量x≠0，有Bx≠0，又A为正定矩阵，对于Bx≠0有（Bx）TA（Bx）＞0，于是当Bx≠0时，xT（BTAB）x＞0，故BTAB正定，由充分及必要得证。
实对称矩阵隐含条件：1、必可对角化，且可用正交变换；2、不同特征值对应的特征向量正交；3、特征值全部为实数；4、k重特征值必有k个线性无关的特征向量；5、与对角矩阵合同。
相似：1、定义：P-1AP=B，可对角化：A有n个线性无关的特征向量，R（A-mkE）=n-k，mk是A的k重特征值；A有n个不同的特征值，A是实对称矩阵；应用：An=PmnP-1 f=xTAx推出f=yTmy。
求特征值的方法注意：抽象用Ax=mx，具体用/A-mE/=0。