惯性定律
一、定义：n元二次型f=xTAx的秩为r，若可逆线性变换x=Cy，x=Pz分别将f化成标准形：f=k1y12+...+kryr2（ki不为零，i=1...r），f=m1z12+...+mrzr2（mi不为零，i=1...r）则k1...kr与m1...mr中带正号的个数相同，r与秩相等。
二、几何解释：经过可逆线性变换把二次曲线方程化成标准形（也称为法式方程），标准形的系数与所做线性变换有关，但曲线类型不会因为可逆的线性变换改变，特别的，用正交变换时（保模，范数不变）不仅类型不变，大小也不变。
三、1）二次型f标准形的秩数（等于项数）为f的惯性秩数记作r；2）二次型f标准形的正项个数为正惯性指数记作p；3）二次型f标准形的负项个数为负惯性指数记作q。显然，p+q=r=R（A）。
二次型的正定性（理解：标准形的系数都是正数就是正定二次型，都是负数就是负定二次型，有正有负就是不定）
一、定义：n元二次型f=xTAx，若对任何x不为零，都有f>0，则称之为正定二次型，称对称矩阵A为正定矩阵记为A>0（不是A中所有元素都是正数）；n元二次型f=xTAx，若对任何x不为零，都有f<0，则称之为负定二次型，称对称矩阵A为负定矩阵记为A<0（不是A中所有元素都是负数）。4元及以上正定型没有几何意义。
二、判定：实n元二次型f=xTAx为正定二次型的充要条件是标准形的n个系数全为正。证：x=Cy使f（x）=f（Cy）=k1y12+...+knyn2。充分性：设ki>0（i=1...n），任给x不为零，y=（C-1）x不为零（设C-1x=0系数阵C-1可逆不为零，根据克莱姆法则仅有零解，x不为零不是方程组的解，故确定不为零；y=（y1...yn）T不为零，至少有一个不为零），故f（x）=f（Cy）=k12+...+knyn2>0，正定。必要性（由f>0推知ki>0）：ks<=0，则当y=es（0...1（第s个分量）...0）T即为单位坐标向量时f（x）=kses=ks<=0与f正定矛盾（k1y12...+knyn2取特殊的单位坐标向量为y，只剩ksys2其余为零），故ks>0，从而ki>0（i=1...n），证毕。容易推论：对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是A的特征值全为正数（f=xTAx正交x=Py f=yT对角阵y 对角阵由A的特征值组成）；对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是A的各阶顺序主子式全>0（正定矩阵的行列式恒大于零一定可逆），对称矩阵A为负定矩阵的充要条件是A的奇数阶顺序主子式全<0而偶数阶顺序主子式全>0，即（-1）r/ann/>0（r=1...n）。
二、几何意义：二维正定二次型f（x，y）=c（c>0）是以原点为中心的一族椭圆，当c=0时收缩到原点；三维正定二次型f（x，y，z）=c（c>0）是以原点为中心的一族椭球。