牛吃草问题属于应用题模块，是经典的奥数题型之一，也是考试中经常会涉及到的考点。“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．

 

！解题思路

由于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。我们需要教育孩子在一切都在变化的环境中教育孩子如何以不变应万变，教育孩子什么叫万变不离其宗。

• 三个不变

  
  

草的每天生长量不变；

每头牛每天的食草量不变；

草场原有的草量不变

• 两个等式

草的总量=草场原有的草量+新生的草量

新生的草量＝每天生长量×天数

！解题方法

方法一：通用解法（算术方法）

求出每个单位时间草的变化量等于多少头牛的吃草量，再求出原有草的量等于多少头牛的吃草量，从而得出答案。

同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：

         ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；

         ⑵草的生长速度＝(对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数)÷(较多天数－较少天数)；

         ⑶原来的草量＝对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；

         ⑷吃的天数＝原来的草量÷(牛的头数－草的生长速度)；

         ⑸牛的头数＝原来的草量÷吃的天数＋草的生长速度．

“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．但由于这种方法在数量之间的关系换算上较麻烦，一旦题目增加难度，或与工程问题结合，转成进水排水问题，常常使人找不到解题的正确思路.

方法二：图解法

图示法解题：图示法在解很多题目时非常直观、简洁，如在牛吃草、行程等问题中得到广泛的应用，以牛吃草为例说明如下：

【例1】一片草场的青草每天都匀速生长，这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？

解题思路总结：解决牛吃草问题的关键是：

　　（1）设1头牛1天吃1份草；

　　（2）要求出每天（或每周等）新生长的草量；

　　（3）要求出原有的草量；注意：原有的草量不变。

　　然后代入计算就可以了。

解：作线段图如下图：

　　

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　　设1头牛1天吃1份草，

　　则27头牛6天共吃草：27×6＝162份；23头牛9天共吃23×9＝207份，

　　多了207－162＝45份，相当于（9－6）天生长的草量，

　　所以每天生长的草量为： ＝15份/天；

　　则原有的草量为：162－6×15＝72份；

21头牛中有15头吃生长的草，那么剩下的21－15＝6头吃原有的草，

所以可以吃： 天，因此可供21头牛吃12天。

方法三：方程法

用方程思路解决"牛吃草"问题的步骤可以概括为三步：

　　1、 设定原有草的总量和单位时间草的变化量，一般设原有总量为1，单位时间变化量为X；

　　2、 列出表格，分别表示牛的数量、时间总量、草的总量（原有总量+一定时间内变化的量）、每头牛单位时间吃草数量

　　3、 根据每头牛单位时间吃草数量保持不变这一关系列方程求解X，从而可以求出任意时间的草的总量，也可以求出每头牛单位时间吃草数量。从而针对题目问题设未知数为Y进行求解。

【例题】一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么可供21头牛吃几周？

解：第一步：设牧场原有草量为1，每周新长草X；第二步：列表格如下:

牛的数量	27	23	21
时间	6	9	Y
草的总量	1+6*X	1+9*X	1+Y*X

根据每头牛单位时间吃草数量保持不变这一关系列方程求解X

有方程 (1+6*X) / (27*6) = (1+9*X) / (23*9) 

求出X 然后代到 (1+9*X) / (23*9)  = (1+Y*X)/21*Y

方法四：比较法

　　第一步：找到或者设计出两块面积相同的牧场，从而找到同面积牧场下的两个条件；

　　（可以将大牧场切割，亦可以将小牧场扩大倍数）

　　第二步：利用“大括号法”计算出这一面积下的两个关键量；

　　第三步：根据面积比例关系，算出所求面积牧场的两个关键量；

       第四步：求解

【例题】如图，一块正方形的草地被分为完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度匀速生长，老农带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光。（在这2天内其它草地的草正常生长）之后他让一半牛在②号草地，一半牛在③号草地吃草，6天之后又将两个草地的草吃光，然后老农把1/3 的牛放在阴影部分的草地中吃草另外2/3 的牛放在④号草地吃草结果发现它们同时把草场上的草吃完。那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要多少时间？

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分析与解：在牛吃草问题中总是把每头牛吃的草量看作是一定的，要不就没法做了。在这道题中我们不必像别的牛吃草问题中把每头牛吃的草量看作一份，可以把整群牛每天吃的草量看作1份。然后按照一般牛吃草问题，重点考虑某段时间内牛吃草的份数与单位草场上原有草及每天新长出草的关系。

　　由"老农带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光。"可得：

　　①号地原有草量+①号地每天新长草量×2=1份×2

　　由"让一半牛在②号草地，一半牛在③号草地吃草，6天之后又将两个草地的草吃光"可理解为一群牛在2倍于①号的草地上吃6天，而这2倍的①号草地上的草已经长了8天，因此得：

　　①号地原有草量×2+①号地每天新长草量×2×（2+6）=1份×6

　　比较上面的两个式子可以解得：①号地每天新长草量=16 份，①号地原有草量=53 份，

　　接着考虑阴影面积与第三块地的面积之间的关系。由条件"老农把1/3 的牛放在阴影部分的草地中吃草另外2/3 的牛放在④号草地吃草结果发现它们同时把草场上的草吃完"

　　可得：④号也就是①号的面积是阴影面积的2倍，因此整个正方形的面积可看作①号的4.5倍。

　　因此，求最后结果可以列式为：53 ×4.5÷（1- 16 ×4.5）=30（天）。

　　解释一下上式：53 ×4.5表示整个草地原有的草量，16 ×4.5表示整个草地每天新长草量，（1- 16 ×4.5）表示这群牛每天吃掉多少的原有草量，最后除得共需30天。

上题只要按照牛吃草问题的一般解法，确定以一群牛每天吃草量为1份，根据图形各部分面积关系确定①号图形的面积为一个面积单位，求出原有草量，新长草量，全题解题思路清晰，难度中等。但是，有一关键之处，在第二种情况中的草已经长了8天，而牛只吃6天，如不能注意到这种不同之处，就可能要出错。

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1.牛吃草问题解法

• 方法一：通用解法（算术方法）

• 方法二：图解法

• 方法三：方程法

• 方法四：比较法

2.牛吃草问题题型

• 青草减少

• 排水问题

• 排队问题

3.课后练习

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