在五年级怎样做“摸球”实验？

——在汇师小学点评“可能性的大小”一课

《小学数学教师》编辑部  陈洪杰

6月15日下午，在汇师小学听了徐雄老师“可能性的大小”一课。课上最主要的教学环节是两次摸球活动，从教学现场看，两次活动耗时久（每次5分钟以上）但效果不是很好，因此在点评时，针对两次摸球提出矫正意见。

在这一类“统计与概率”的课中，摸球是课堂上经常出现的活动，在各个年级都可以用。那么，怎样体现在不同年级进行摸球的必要性？也就是说同样的实验，在不同的年级，应该给学生提出怎样逐步提高的思维要求？——考虑到摸球的思维含量才能使“摸球”不至于成为鸡肋。

以下是当时的点评，教学设计附后。

1．这是5年级的课，学生对抛硬币的可能性1/2，是很清楚的。课堂最后，1~5，5张牌的游戏时，学生直接说男生获胜的可能性是2/5，女生的可能性是3/5。这也表明，学生对这些情境中的可能性完全有了定量刻画的能力。那么如何让此课更有挑战性？

2．摸球活动是此课的主体内容，第一次摸球让学生体会数量多（少）的，摸到的可能性就大（小）；第二次则是研究球的数量一样多时，可能性相等。第一次摸球的目标我没有疑义，但第二次摸球的目标不应该是体验可能性相等（1/2），而应该让学生体验：可能性1/2是确定的，但在摸球中是不一定摸成1/2的，摸不成，才是“一切皆有可能”啊！

因此，对您的两个活动有如下的矫正意见。

第一次摸球以商场摸到黄球奖大礼一份的情境，让4各组分别拿一个箱子摸球，根据摸球的情况判断商家会选用哪只盒子。4个组长分别拿着盒子让每个组员都摸4次，组员的手脚有快慢，4个组完成摸球有时间上的先后。我发现，先摸完球的学生无事可做了，看着其他人摸。先摸完的组，全组都没事了，在等最后的组完成。老师也在等，您说“没摸完的抓紧”。等最后的组完成了才一一汇报，用条形统计图统计摸到黄球和白球的数字。我评课一直强调教学要“面向全体”，这个标准要求老师们注意，部分学生有活干的时候，没活干的学生怎么办？这次操作有整整5分钟，第一个组员30秒摸完4次球后就让他等在那里吗？不是的！

教师可以这样，一个（大）组的数据出来之后，马上统计，让该组和其他组已经完成的学生根据数据猜一猜有几个黄球，几个白球，并写下来。4个组先后完成数据的统计，学生根据摸球的次数猜了4次。（教师最后统计数据显示A、B、C、D，4组白球和黄球的数据分别是40：0、31：9、26：14、15：25，然后开盒，看到黄球分别是0、1、4、2个。）那么学生在类似31：9这样的数据出来后会怎么猜呢？不一定是黄球5，白球1，也可能有学生猜黄4，白2，如果有这样的资源（我相信一定会有），恰恰能说明“一切皆有可能”。

——这样教，不用一个大组等另一个大组，好了一点。但对每一个小组的成员而言，还是有闲下来的时间，所以，教师在每个小组摸球之前，可以再补充一句：根据你自己摸的4次球，猜猜看有几黄、几白。显然，摸4次是把握不住盒内的黄球和白球的状况的。但，这里正是需要这种“把握不住”。而像A组没有一个黄球的情况，一组中几个人摸了之后，可能就有人猜测“没有黄球的”（其他教师补充：已有学生说“肯定没黄球”）。所以，教师可以补充一句，先根据自己摸的情况判断一下有几个黄球、白球。当组里摸球的人比较多时，教师再补充一句：已经摸到一半了，已经摸过球的4人一组讨论一下自己的数据，允许你根据组里其他同学的数据，改一次自己的猜测。最后，全组的数据再黑板上呈现，根据全组的数据，教师再每组抽一个同学猜一次有几个球。最后揭开盖子看真实的情况。

1人的数据判断不准，4人的数据判断较准的可能性大了一点，一组10人的数据来判断的准确性又大了一点，层层逼近。学生对用频率推断概率的方法也有了体验。

同样，第二个摸球活动是在学生知道盒子里各有3个黄，3个白的情况下进行的。教师可以依法炮制。一开始就让学生先猜自己会摸到几白几黄，4人小组会摸到几黄几白，全组会摸到几黄几白。这三次猜测让学生写下来，因为摸的总次数是一定的，写成比例的形式最清楚，也允许学生用其他的方式记录自己的思考。最后，把4各组的数据加起来，基于全班的数据，让学生看一看是几黄几白。——这第四个数据也可以让学生猜。

教师一次次的数据呈现后，可以这样追问：我就奇怪了。明明白球、黄球一样多，怎么却不是2：2，8：8，20：20，80：80呢？或者教师拿学生写的数据，追问：你为什么不猜2：2（8：8，20：20，80：80）呢？有猜2：2（8：8，20：20，80：80）的吗？你觉得自己猜的准吗？——拿学生的猜测做为分析的资源并让学生说一说自己这么猜的理由，这样教学把学生推到台前，是值得提倡的。数据中蕴含的“可能性”，学生说给学生听，比老师说给学生听，恐怕更有说服力。在这一次3黄3白确定的操作中，教师找学生的猜测情况的数据时，要特别注意找极端数据，比如1：3（1人摸），5：11（4人小组）等，教师追问：为什么猜得这么极端？学生如果以可能性来回答则不仅表明他懂了，而且表明该学生已经是基于“不确定性”来指导他的行为了：这种情况虽然可能性小，但可以“博”一下。这种“好赌”的精神不正是人面对“不确定事件”时的主观能动性吗？我们可以下这样的论断：在这次操作中，把猜测结果写成一半对一半的学生是笨学生，4次都写成一半对一半，那可是够笨了吧！但是，我猜测，在全班40人，每人4次，共160个数据中，肯定会出现一半对一半的数据。这，就是学生有意的选择。

如果之前的两次摸球活动是这样进行的，那么学生对“可能性大小”的体验就丰富了。接下来，可以安排第三次摸球活动：不知几白几黄，通过摸球的情况做一个推断。此时，就没有必要人人都摸球了。教师拿出盒子，找一个学生摸20次，学生记录几白几黄，让学生推测。——教师可以故意不告知红白球总数，我相信学生在要做判断的时候马上会发现需要这个条件的。

——以上唠唠叨叨说了一通，可能老师们会觉得很复杂，甚至有点繁琐。其实真正落实起来应该是不难的，相应的规则用PPT呈现，事先给学生记录纸，追问的问题散落在操作的长时间段中，整个的教学节奏应该是紧凑而疏朗的。教师不用关注每一个细节，但关键的环节都照顾到了；学生不用一直等待，也不是一直在忙碌，而是有操作，有思考，有基于数据的判断和矫正，当然也有一些空闲。总之，教学应该追求大气，但这种大气却是靠一个个精致的小细节来得到的，这是“大”与“小”的辩证，“疏”与“密”的合奏。

3. 关于用软件的使用。（介绍完数学家投几千、几万次硬币后）

现在的软件很先进，可以模拟随机事件，我们成人对这种科技的力量是没有疑义的。但对学生而言，您启动软件，硬币正反面的数据以很快的速度不断地上升，能否起到证据确凿的作用呢？恐怕要打个问号。因为课堂上使用的软件都是教师事先做好的，结果都是教师预设好的，您怎么让学生相信这一次不是老师事先设计的呢？所以，这里的操作，第一步是要验证一下这把“秤”。可以这样：现在科技很先进，都能模拟随机了，具体原理老师也不懂，我们先来看看这个软件是不是随机的吧！然后输入100，出来一次数据，输入1000，出来一次数据，再输入一次1000（重复），再出来一次数据。数据出来前，老师和学生可以一起猜一猜，几次下来的确是随机的，再让软件计算几万次的大数据。这样，恐怕学生会觉得更可信些。

4．此外，可以拓展一个游戏：2粒骰子，投2个数相加或相乘，一张表，同桌各写6个数（彼此避开），投一次，两数相加或相乘，得到谁的数，谁就划去这个数，先划完的胜。这个游戏可以从低年级晚到高年级，学生对哪些数据出现的可能性多是会有感性的体验的。【教师回应：下一堂课有相似的游戏。】

最后，我不得不很悲伤地说一句，这个内容放在5年级教其实不太合适。

附：“可能性的大小”教学设计。（五年级，学生10×4人）

一 创设情境

1．谈话引出促销方案：商场购物满200元，抽奖一次，摸到黄球奖大礼包一个。

2. 探究活动一：

实验要求：（1）按顺序每人摸球4次，记录员记录摸球结果。

         （2）每人每次摸球1个，摸前先搅匀，摸后放回。

学生分组摸球，教师巡视。

3. 各组汇报交流。【教师输入数据，直接生产条形统计图】

4. 验证各抽奖带中的实际情况，根据实际情况小结并板书：

数量多（少） 可能性大（小）

二、进一步研究可能性相等的问题

1. 设疑：如果两种颜色球数量相等，它们被摸到的可能性会怎样呢？（相等）

2. 探究活动二：

实验要求：（1）请4个小组都把球调整到3个黄球和3个白球

         （2）按顺序每人摸球4次，记录员记录摸球结果。

         （3）每人每次摸球1个，摸前先搅匀，摸后放回。

学生分组摸球，教师巡视。

3. 各族汇报实验情况。

4. 引导学生观察条形统计图，得出：黄球、白球数量相等的情况下，摸到黄球、白球的个数总是围绕总次数的一半上下波动。

5. 质疑：从实验数据中我们发现摸到的黄球、白球的数量并没有完全相等，这是怎么回事呢？（学生回答）

6. 演示数学家做过的抛硬币实验。

7. 以视频片段介绍抛硬币在生活中的应用。

8. 商场抽奖方案的选定，请学生各抒己见，教师适当小结。

三、巩固练习

1. 游戏一：快乐转盘。（转前选一颜色，转到选的颜色就赢。）

2. 游戏二：摸纸牌。（1~5，5张纸牌，摸到纸牌大于3，男生赢，否则，女生赢。）

追问：你觉得这个游戏公平吗？怎样才能保证游戏的公平性呢？

四、全课总结。