问题教学法案例（二）

 

——函数的单调性

苏丽君

一、案例背景

数学课程应该反璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。” 上述精神表达了数学教学的新理念，即坚持以学生为主体，教师为主导。在这种理念下，数学的课堂教学应该是丰富多彩的学生创造性的活动。可是，却有很多学生对数学不大感兴趣，觉得数学很难学，很枯燥。我觉得其中的一个原因是：在课堂教学中，教师没有创设适当的问题情境，来激发学生的求知欲。“问题教学法”正是以问题为主线，引导学生主动探究，体验数学发现和构建的过程，完全符合新课程标准的理念。因此，“问题教学法”在数学教学中尤显重要。

二、案例过程

（一）、创设情境，引入课题

师：上节课我们学习了函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法。图象法有什么优点？

生：能直观、形象地表示出函数的变化情况。

师：下面让我们来看几个函数的图象，看看函数的变化情况是怎样的。

投影： 1．如图是某地区某天24小时内的气温变化图。

问题1：这天什么时刻温度最高，最高温度是几度？

什么时刻温度最低，最低温度是几度？

问题2：在4点到14点这段时间内，温度随时间是怎样变化的？

问题3：在0点到4点和14点到24点这两个时间段，温度随时间是怎样变化的？

（学生基本上都能回答这几个问题）

师：显然，温度的升高或降低是相对于一段时间而言的。

投影：2．以下是一次函数 的图象。

问题4：随着自变量x的增大，相应的函数值是怎样变化的？

（对第二个函数，部分学生不知道如何准确回答）

师：对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.

（二）、归纳探索，形成概念

1．借助图象，直观感知

问题1：结合刚才的几个函数的图象，能不能根据自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？

生：x增大，y也增大，增函数。x增大，y减少，减函数。

师：你的理解基本正确。由气温变化图我们知道，温度的升高或降低是相对于一段时间而言的。由 的图象我们知道，在y轴的左侧，随着自变量x的增大，相应的函数值逐渐减小，在y轴的右侧，随着自变量x的增大，相应的函数值也逐渐增大。那么谁能对这个同学的说法再修正一下呢？

    （教室里一片安静，我叫了一个学生发表一下他的观点，他说不会。我只能无可奈何地请他坐下继续思考。我心里有点急，继续引导学生，还是自己讲出来呢？继续引导吧，怕时间不够。最后还是自己讲了）

师：如果函数 在某个区间上随自变量x的增大， 也越来越大，我们说函数 在该区间上为增函数；如果函数 在某个区间上随自变量x的增大， 越来越小，我们说函数 在该区间上为减函数．

师：这种认识是从图象的角度得到的，比较直观．

〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数

单调性的感性认识

2．通过探究，形成概念　

投影：问题2：如图是函数 的图象,

能说出这个函数在哪个区间上为增函数，在哪个区间上

为减函数吗？

（学生的困难是难以确定分界点的确切位置，他们讲出了一个大概值）

师：用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，所以需要结合函数的解析式，用数学语言来描述“函数 在某个区间上随自变量x的增大， 越来越大（小）”。也就是说，仅仅从函数的解析式出发，你怎么说明“函数 在某个区间上随自变量x的增大， 越来越大（小）”。

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．

投影：问题3：从函数的解析式的角度，如何用数学符号语言说明 在 上随自变量x的增大， 越来越大？

生1：在给定区间内取两个数，如2和3，2²<3²．

师：取两个数， 2²<3²．就能保证  在 上随自变量x的增大， 越来越大？

生2：多取几个数。

师：多取几个数，就能保证 在 上随自变量x的增大， 越来越大？

（一些学生说能，一些学生说不能。叫了一个说不能的学生发表一下支持自己观点的理由，她无法很好地把理由讲出来，她觉得显而易见。很多同学还是一脸的茫然，我顿时有点灰心，是我的提问有问题吗？以至于懂的学生说不出理由）

师：多取几个数，也不能保证  在 上随自变量x的增大， 越来越大？那怎么办呢？

（发现我自己也不能很好地说出能让其他学生一听就懂的理由，抑或是我设计的问题有问题，抑或是部分学生的理解力真的有问题）

生：取无数个。

（部分学生议论纷纷，无数个无法取啊）

师：有些同学不同意，无数个无法取。那怎么办？

（教室里鸦雀无声，我想此时，无声胜有声吧，学生在静静地思索呢！终于有一个细细的、不自信的声音传来）

一个内向的女生：任意取两个数．

师：任意取两个数，就能保证  在 上随自变量x的增大， 越来越大？

（此时，大部分学生都同意这个小女生的观点）

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的更深层次的认识．

问题4：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，板书定义。引导学生找出定义中的关键字：定义域I内、区间D上、任意、 。并思考以下问题。

投影：下列说法是否正确？若错误，说出为什么。先独立思考，然后与同桌交流讨论，达成共识。最后小组派代表发言。

（1） ．

（2）若函数 ．

（3）

（给了学生足够的思考时间，几个学生发表了自己的看法，全班讨论、分析，达成共识）

然后引导学生通过类比得出减函数的定义。接着给出单调性、单调区间的定义。

问题5：你能找出气温图中的单调区间吗？

问题6：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?

（对于问题4，多数学生能回答，对单调区间的区间端点可不可以取，适时引导，对于问题5，学生回答得不理想。其实从正误判断题（2）就可知道问题5的答案，而正误判断题（2）学生已经做了充分的交流，有了充分的认识，但大部分学生为什么还是不会回答问题5呢？我想，又是我设计的问题的问题了，或者给学生思考的时间不够。怕时间不够，我自己讲了出来。）

〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对几种说法的辨析，加深学生对定义的理解。

（三）、掌握证法，适当延展

例1 证明函数 在 上是减函数．

1.让学生分析、解决问题

部分成绩较好的学生：由 ，理由：分母越大，分数越小。

师：：分母越大，分数一定越小吗？

（这些学生一愣，心想难道不是吗？）

师：

生：这里讲的两个数都是正数！

（学生强烈抗议！）

师：为什么两个正数 ？谁告诉你的？初中课本上明文写着吗？没有明文

写着的东西，你能直接拿来用吗？

（在我咄咄逼人的话语进攻下，学生终于心服口服了）

师：课本上明文写着的定义、定理、公式等，如果我们还没学到过，也不能直接拿来用，更何况书上没有明文写着的，错误的结论就更不用说了。

证明：任取 ,   　　　　　　　设元

　　　　　　　            作差

                          变形

　　　　　　　　　　       　　　　　　断号

∴

∴ 即

∴函数 在 上是减函数．　　          　 定论

（这里断号的根据初中课本上明文写着的）

2．归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

列举变形的常用方法：通分、提取公因式、因式分解等。

练习：证明函数 在R上是减函数。

学生板演，然后由学生评价。教师强调书写格式和注意点。

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．

（四）、归纳小结，提高认识

教师小结：

(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．

(2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

(3) 数学思想方法：数形结合思想．

（由于时间不够，也没能由学生做课堂小结）

三、案例分析

（一）本节课的设计分析

1、教学难点的确定

对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）用准确的数学符号语言表述出增（减）函数的定义。（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达。

2、教学目标的确定

根据本课教材的特点、新课标对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三个方面确定了教学目标．

（1）知识与技能：．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握利用函数单调性的定义判断、证明函数单调性的方法．

（2）过程与方法：从生活实际和已有旧知出发，引导学生探索函数的单调性的概念，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

（3）情感态度价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

3、教学方法和教学手段的选择

本节课是函数单调性的第一节课，采用教师设问启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．

4、教学过程的设计

   针对本节课教学目标，教学过程分为三个阶段：

（1）课题引入阶段：提出的问题符合学生的生活经验，能引起学生的兴趣，锻炼学生的观察能力。通过图形的直观感觉，给学生函数单调性的感性认识，为突破难点做好铺垫。从而自然地导入课题。

（2）定义探究阶段：重视课堂问题的设计。围绕四个问题，对定义进行探究，层层深入，发动学生，积极思考，最终形成概念．

（3）概念应用阶段：函数的单调性定义应用只设计了例1，这一过程由学生来完成，使学生自主进行学习，独立探究问题，充分暴露思维中的缺点，最后由学生总结出证明的步骤。

（二）本案例课堂教学的特点

1．重视课堂提问的设计,激发学生的求知欲。

2．体现了学生的主体性，提高了学生学习的主动性。

3. 注重引导学生主动探究,建构新知。重视概念形成的过程，注重培养学生的数学思维能力。

4．重视交流合作，培养学生的合作精神。

（三）本案例课堂教学引发的思考

在这个班的教学效果可以说是非常好的。上完课我的感觉很好，学生的作业完成得也很好。但在第一个班级上课，由于时间控制得不好，讲到例1：证明函数 在 上是减函数时，缩短了给学生独立思考的时间，没有让学生充分地展示他们的一些似是而非的想法，怕时间不够，我自己给学生做了详尽的分析和解答，该强调的也都强调了。但作业一反馈过来，比这个班差好多！可以说，这给了我一次震撼：我多讲是没有用的，把知识强加给学生，只是我的一相情愿，学生并不会因为我讲得有多卖力而买我的帐。我深深感到，教学非以学生为主体不可。

教学以学生为主体，要求教师在课堂教学中，得根据学生已有的认知状态和生活经验, 设计一系列的问题, 让学生在独立思考、合作交流、自主探索的过程中主动去发现、建构新知识,获得对数学学习的积极体验。

探究活动比较费时间，我有时一发现个别学生得到了正确的结论，就让其回答，并结束这个探究过程。或者学生不能很好地回答我的提问时，我怕时间不够，就自己讲出答案。如何正确认识和处理探究过程与时间限定的矛盾呢？这个也是我从本案例课堂教学引发的另一个思考。